📐 Το ποδικό τρίγωνο ενός σημείου — Μήκη πλευρών και περιγεγραμμένος κύκλος

Έστω τρίγωνο \[ A_1A_2A_3 \] και ένα σημείο \(P\). Από το \(P\) φέρνουμε καθέτους στις τρεις πλευρές του τριγώνου και συμβολίζουμε με \[ P_1,\;P_2,\;P_3 \] τα αντίστοιχα ίχνη.

Το τρίγωνο \[ P_1P_2P_3 \] ονομάζεται ποδικό τρίγωνο του σημείου \(P\) ως προς το τρίγωνο \(A_1A_2A_3\).

Θεώρημα.

Αν \[ a_1=A_2A_3 \] και \(R\) είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου \(A_1A_2A_3\), τότε

\[ \boxed{ P_2P_3 = A_1P\sin\alpha_1 = \frac{A_1P\cdot a_1}{2R} } \]

και κυκλικά προκύπτουν οι αντίστοιχοι τύποι για τις άλλες δύο πλευρές του ποδικού τριγώνου.

🔎 Γιατί ισχύει;

Το τμήμα \(P_2P_3\) είναι χορδή του κύκλου με διάμετρο \(A_1P\). Στον ίδιο κύκλο, η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο \(P_2P_3\) είναι ίση με \[ \alpha_1. \]

Άρα, από τον γνωστό τύπο για χορδή,

\[ P_2P_3=A_1P\sin\alpha_1. \]

Επειδή στο αρχικό τρίγωνο

\[ a_1=2R\sin\alpha_1, \]

παίρνουμε αμέσως

\[ \boxed{ P_2P_3=\frac{A_1P\cdot a_1}{2R}. } \]

💡 Η ουσία

Οι πλευρές του ποδικού τριγώνου συνδέονται απλά με τις αποστάσεις του σημείου \(P\) από τις κορυφές του αρχικού τριγώνου και με τις πλευρές του ίδιου του τριγώνου.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →