EisatoponAI: 🧊 Πόσα ισόπλευρα τρίγωνα σχηματίζουν οι κορυφές ενός κύβου;

Θεωρούμε έναν κύβο ακμής

\[ 1\text{ cm}. \]

Ο κύβος έχει \(8\) κορυφές. Επιλέγοντας οποιεσδήποτε \(3\) από αυτές, μπορούμε να σχηματίσουμε

\[ \binom{8}{3}=56 \]

διαφορετικά τρίγωνα.

❓ Από αυτά τα \(56\) τρίγωνα, πόσα είναι ισόπλευρα;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Μεταξύ δύο κορυφών ενός μοναδιαίου κύβου μπορούν να εμφανιστούν μόνο τρεις διαφορετικές αποστάσεις:

\[ 1,\qquad \sqrt2,\qquad \sqrt3. \]

Για να είναι ένα τρίγωνο ισόπλευρο, οι τρεις κορυφές του πρέπει να απέχουν ανά δύο την ίδια απόσταση.

Εξέτασε ιδιαίτερα την περίπτωση όπου κάθε πλευρά του τριγώνου είναι διαγώνιος μιας έδρας του κύβου, δηλαδή έχει μήκος

\[ \sqrt2. \]

Ένας ακόμη χρήσιμος τρόπος είναι να ξεκινήσεις από μία κορυφή και να αναζητήσεις ποιες άλλες κορυφές απέχουν από αυτήν κατά \(\sqrt2\).

EisatoponAI