Δύο μυρμήγκια ξεκινούν ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο ενός κύκλου και περπατούν προς την ίδια κατεύθυνση.
Το ένα κινείται 13 φορές γρηγορότερα από το άλλο, ενώ το πιο αργό μυρμήγκι χρειάζεται 1 ώρα για να ολοκληρώσει έναν πλήρη κύκλο.
⏱️ Σε πόσο χρόνο θα συναντηθούν ξανά για πρώτη φορά;
💡 Εμφάνιση υπόδειξης
Μην εξετάσετε χωριστά πόσους κύκλους κάνει κάθε μυρμήγκι. Σκεφτείτε τη σχετική ταχύτητά τους: για να συναντηθούν ξανά, το γρηγορότερο πρέπει να έχει κερδίσει ακριβώς έναν ολόκληρο γύρο από το αργότερο.
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
(Α) Όταν κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση:
ΑπάντησηΔιαγραφήΤα δύο μυρμήγκια θα συναντηθούν ξανά για πρώτη φορά μετά από ακριβώς
5 λεπτά (ή 1/12 της ώρας).
1. Ταχύτητα αργού μυρμηγκιού:
Αφού χρειάζεται 1 ώρα για έναν πλήρη κύκλο, η ταχύτητά του είναι 1 κύκλος ανά ώρα.
2. Ταχύτητα γρήγορου μυρμηγκιού:
Κινείται 13 φορές γρηγορότερα, άρα η ταχύτητά του είναι 13 κύκλοι ανά ώρα.
3. Σχετική ταχύτητα:
Επειδή κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση, το γρήγορο μυρμήγκι «κερδίζει» έδαφος έναντι του αργού με ρυθμό:
13 - 1 = 12 κύκλους ανά ώρα.
Για να συναντηθούν ξανά, το γρήγορο μυρμήγκι πρέπει να καλύψει τη διαφορά ενός ολόκληρου κύκλου (1 κύκλος) από το αργό.
Χρόνος=Διαφορά/Σχετική Ταχύτητα=1/12 της ώρας
Μετατρέποντας τις ώρες σε λεπτά:
(1/12)*60=60/12=5 λεπτά
Σε ποιο σημείο της διαδρομής θα συναντηθούν:
Τα μυρμήγκια θα συναντηθούν στο (1/12) του κύκλου (360ο*(1/12=360ο/12= 30ο από την αφετηρία), έχοντας κάνει (1/12) του κύκλου το αργό και (1 και 1/12) του κύκλου το γρήγορο.
Πόσους συνολικούς κύκλους θα έχει κάνει το κάθε μυρμήγκι μέχρι τότε;
Συνολικοί κύκλοι:
Αργό μυρμήγκι:
Έχει κάνει ακριβώς (1/12) του κύκλου.
Γρήγορο μυρμήγκι:
Έχει κάνει ({13/12) του κύκλου.
Ολόκληροι κύκλοι:
Το γρήγορο έκανε 1 πλήρη κύκλο και ένα επιπλέον κομμάτι (1/12).
Σημείο συνάντησης:
Θέση στον κύκλο:
Βρίσκονται στο (1/12) της συνολικής διαδρομής.
Αναλογία με ρολόι:
Αν ξεκίνησαν από το 12, συναντιούνται ακριβώς στο 1.
Γωνία αφετηρίας:
Η θέση τους απέχει 30 μοίρες από την εκκίνηση.
(Β) Όταν κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις
Εάν κινούνταν σε αντίθετες κατευθύνσεις, θα συναντιούνταν για πρώτη φορά μετά από 4 λεπτά και 17 δευτερόλεπτα (ή 1/14 της ώρας).
1. Χρόνος Συνάντησης
Όταν κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις, οι ταχύτητές τους προστίθενται γιατί πλησιάζουν το ένα το άλλο.
2. Σχετική ταχύτητα:
υσχ.=13 + 1 == υσχ.= 14 κύκλοι ανά ώρα.
Χρόνος: 1/14 της ώρας.
Μετατρέπουμε τις ώρες σε λεπτά κι’ έχουμε:
Σε λεπτά: (1/14)*60=60/14= ≈ 4,29 λεπτά
Μετατρέπουμε τα 0,29 λεπτά σε δευτερόλεπτα κι’ έχουμε:
0,29*60=17,4 δευτερόλεπτα
Χρόνος συνάντησης:
4 λεπτά και 17,4 δευτερόλεπτα.
3. Συνολικοί Κύκλοι και Σημείο Συνάντησης:
Στον ίδιο χρόνο (1/14 της ώρας), το κάθε μυρμήγκι θα έχει διανύσει:
Αργό μυρμήγκι:
Έχει κάνει ακριβώς (1/14) του κύκλου.
Σημείο:
Αν ξεκίνησε προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού, θα βρίσκεται περίπου στις 25,7 μοίρες από την αφετηρία.
Εύρεση των 25,7 μοιρών προκύπτει επειδή ένας πλήρης κύκλος έχει 360 μοίρες
Εφόσον το αργό μυρμήγκι έχει διανύσει το (1/14) του κύκλου μέχρι τη συνάντηση, κάνουμε έναν απλό πολλαπλασιασμό:
Μοίρες=(1/14)*360ο =360ο/14= ≈ 25,714 μοίρες
Αντίστοιχα, το γρήγορο μυρμήγκι διάνυσε τα (13/14) του κύκλου, δηλαδή:
(13/14)*360ο = ≈ 334,28 μοίρες
Επειδή όμως κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις, το γρήγορο μυρμήγκι κινείται «ανάποδα». Έτσι, αν ξεκινήσουν και τα δύο από τις (0ο):
Το αργό πάει προς τα εμπρός και φτάνει στις (+25,7 μοίρες ).
Το γρήγορο πάει προς τα πίσω και φτάνει στις (360 μοίρες - 334,3 μοίρες =25,7 μοίρες.
Γρήγορο μυρμήγκι:
Έχει κάνει ακριβώς (13/14) του κύκλου.
Σημείο:
Κινούμενο αντίθετα, θα έχει καλύψει σχεδόν όλο τον κύκλο και θα συναντήσει το αργό στο ίδιο ακριβώς σημείο (25,7 μοίρες πριν την ολοκλήρωση του δικού του κύκλου).