🐄 Η αγελάδα και το σχοινί — Τρεις θέσεις, τρία γεωμετρικά προβλήματα

Ένας αγρότης έχει ένα τετράγωνο και περιφραγμένο χωράφι έκτασης μισού εκταρίου.

Επειδή

\[ 1\text{ ha}=10\,000\text{ m}^2, \]

το χωράφι έχει εμβαδόν

\[ 5\,000\text{ m}^2. \]

Ο αγρότης θέλει να αφήσει μια αγελάδα να βοσκήσει, αλλά να έχει πρόσβαση σε ακριβώς το μισό χωράφι. Τη δένει λοιπόν με ένα σχοινί σε έναν πάσσαλο σταθερά καρφωμένο στο έδαφος.

🧠 Η πρόκληση

Υπολογίστε το μήκος του σχοινιού όταν ο πάσσαλος βρίσκεται:

α) στο κέντρο του χωραφιού,

β) σε μία γωνία του χωραφιού,

γ) στο μέσο μιας πλευράς του χωραφιού.

Και στις τρεις περιπτώσεις η αγελάδα πρέπει να μπορεί να βοσκήσει συνολικά

\[ \frac{5\,000}{2}=2\,500\text{ m}^2. \]

Το ζητούμενο είναι το ίδιο. Αυτό που αλλάζει είναι το σχήμα της περιοχής βόσκησης.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Σκεφτείτε ποιο μέρος ενός κύκλου βρίσκεται μέσα στο χωράφι σε καθεμία από τις τρεις θέσεις του πασσάλου.

α) Πάσσαλος στο κέντρο:
Η περιοχή βόσκησης είναι ένας ολόκληρος κύκλος. Άρα συνδέστε το ζητούμενο εμβαδόν με

\[ \pi r^2. \]

β) Πάσσαλος στη γωνία:
Μέσα στο χωράφι βρίσκεται μόνο το ένα τέταρτο του κύκλου. Επομένως εξετάστε

\[ \frac{\pi r^2}{4}. \]

γ) Πάσσαλος στο μέσο μιας πλευράς:
Η περιοχή βόσκησης μέσα στο χωράφι είναι ένα ημικύκλιο. Άρα χρησιμοποιήστε

\[ \frac{\pi r^2}{2}. \]

Σε κάθε περίπτωση εξισώστε το κατάλληλο εμβαδόν με \(2\,500\text{ m}^2\). Πριν ολοκληρώσετε, ελέγξτε επίσης ότι η ακτίνα που προκύπτει χωράει πράγματι μέσα στα αντίστοιχα όρια του τετράγωνου χωραφιού.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →