📐 Θεώρημα του Μενελάου — Μια θεμελιώδης σχέση στο τρίγωνο

Έστω τρίγωνο \(ABC\) και σημεία \(X,Y,Z\) πάνω στις ευθείες \(AB,BC,CA\) αντίστοιχα, όπου επιτρέπονται και οι προεκτάσεις των πλευρών.

Αν τα σημεία \(X,Y,Z\) είναι συνευθειακά, τότε ισχύει

\[ \boxed{ \frac{AX}{XB}\cdot \frac{BY}{YC}\cdot \frac{CZ}{ZA}=-1 } \]

όταν χρησιμοποιούμε προσημασμένα ευθύγραμμα τμήματα.

🔎 Μια κομψή απόδειξη

Φέρνουμε ευθεία \(L\) κάθετη στην \(XYZ\) και έστω ότι την τέμνει στο \(O\). Από τα \(A,B,C\) φέρνουμε κάθετες προς την \(L\), με ίχνη \(A',B',C'\) αντίστοιχα.

Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα προκύπτουν οι σχέσεις

\[ \frac{AX}{XB}=\frac{A'O}{OB'}, \qquad \frac{BY}{YC}=\frac{B'O}{OC'}, \qquad \frac{CZ}{ZA}=\frac{C'O}{OA'}. \]

Πολλασιάζοντάς τες κατά μέλη, οι ενδιάμεσοι λόγοι απλοποιούνται και, λαμβάνοντας υπόψη τα πρόσημα των προσανατολισμένων τμημάτων, παίρνουμε

\[ \boxed{ \frac{AX}{XB} \frac{BY}{YC} \frac{CZ}{ZA}=-1. } \]

💡 Ισχύει και το αντίστροφο: αν τα \(X,Y,Z\) ανήκουν στις ευθείες των πλευρών του τριγώνου και ικανοποιούν την παραπάνω σχέση, τότε τα τρία σημεία είναι συνευθειακά.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →