🧊 Το Τέλειο Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο — Ένα απλό πρόβλημα που παραμένει άλυτο

Μπορεί ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο να έχει όλα τα βασικά μήκη του ακέραια;

Έστω ότι οι τρεις ακμές του έχουν ακέραια μήκη \[ a,\quad b,\quad c. \] Για να είναι ακέραιες και οι τρεις διαγώνιοι των εδρών του, πρέπει οι αριθμοί

\[ a^2+b^2,\qquad a^2+c^2,\qquad b^2+c^2 \]

να είναι όλοι τέλεια τετράγωνα.

Αλλά αυτό δεν αρκεί. Θέλουμε και η χωρική διαγώνιος να είναι ακέραια, επομένως πρέπει επιπλέον

\[ a^2+b^2+c^2 \]

να είναι τέλειο τετράγωνο.

❓ Υπάρχουν θετικοί ακέραιοι \(a,b,c\) που να ικανοποιούν ταυτόχρονα και τις τέσσερις αυτές απαιτήσεις;

Αν οι ακμές και οι τρεις διαγώνιοι των εδρών είναι ακέραιες, το στερεό ονομάζεται Euler brick.

Τέτοια παραλληλεπίπεδα υπάρχουν. Το μικρότερο γνωστό παράδειγμα έχει ακμές

\[ 44,\qquad117,\qquad240 \]

και διαγωνίους εδρών

\[ 125,\qquad244,\qquad267. \]

Η χωρική του διαγώνιος όμως δεν είναι ακέραια.

Αν καταφέρναμε να κάνουμε ακέραια και αυτήν, θα είχαμε ένα Perfect Cuboid — Τέλειο Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο.

Και εδώ βρίσκεται το μυστήριο:

Μέχρι σήμερα δεν έχει βρεθεί ούτε ένα τέτοιο παραλληλεπίπεδο — αλλά ούτε έχει αποδειχθεί ότι είναι αδύνατο να υπάρχει.

Έτσι, ένα πρόβλημα που μπορεί να διατυπωθεί μόνο με το Πυθαγόρειο Θεώρημα και ακέραιους αριθμούς παραμένει ένα ανοικτό διοφαντικό πρόβλημα.

✨ Υπάρχει άραγε κάπου μια τριάδα ακεραίων \(a,b,c\) που να δίνει το πολυπόθητο τέλειο παραλληλεπίπεδο;

Βασική βιβλιογραφία:
Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →