🔵 Ελλειψοειδές και Επίπεδο — Ποια Είναι η Ελάχιστη Απόσταση;

Ένα ελλειψοειδές έχει κέντρο την αρχή των συντεταγμένων και ημιάξονες

\[ a=3,\qquad b=9,\qquad c=6 \]

κατά μήκος των αξόνων \(x,y,z\), αντίστοιχα. Επομένως η εξίσωσή του είναι

\[ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{81}+\frac{z^2}{36}=1. \]

Δίνεται επίσης το επίπεδο

\[ \pi:\quad 2x-2y+z=45. \]

🎯 Πρόβλημα

Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στο ελλειψοειδές και στο επίπεδο \(\pi\);

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Για ένα σημείο \(P(x,y,z)\) του ελλειψοειδούς, η απόστασή του από το επίπεδο είναι

\[ d(P,\pi)= \frac{|2x-2y+z-45|} {\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}. \]

Άρα δεν χρειάζεται να ελαχιστοποιήσετε απευθείας την απόσταση. Αρκεί να αναζητήσετε πάνω στο ελλειψοειδές τη μέγιστη δυνατή τιμή της γραμμικής παράστασης

\[ 2x-2y+z. \]

Μπορείτε να το κάνετε με πολλαπλασιαστές Lagrange ή με μια κατάλληλη ανισότητα.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →