📐 Το Θεώρημα του Brianchon — Τρεις διαγώνιοι που συντρέχουν

Έστω εξάγωνο \(ABCDEF\) του οποίου οι έξι πλευρές εφάπτονται σε έναν κύκλο στα σημεία \(G,H,I,J,K,L\) αντίστοιχα.

Τότε οι τρεις ευθείες που ενώνουν τα ζεύγη απέναντι κορυφών,

\[ AD,\qquad BE,\qquad CF, \]

συντρέχουν στο ίδιο σημείο:

\[ \boxed{AD\cap BE\cap CF=\{O\}}. \]

🔎 Η σχέση με τον Pascal και τον Desargues

Μια ιδιαίτερα όμορφη απόδειξη προκύπτει συνδυάζοντας δύο από τα σημαντικότερα θεωρήματα της προβολικής γεωμετρίας που είδαμε προηγουμένως: το Θεώρημα του Pascal και το Θεώρημα του Desargues.

Με κατάλληλες εφαρμογές του Pascal στα σημεία επαφής του κύκλου προκύπτουν οι απαραίτητες συνευθειακότητες. Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας το αντίστροφο του Θεωρήματος του Desargues σε δύο κατάλληλα τρίγωνα, καταλήγουμε ότι

\[ \boxed{AD,\;BE,\;CF\ \text{συντρέχουν}.} \]

💡 Μια βαθύτερη σύνδεση: Το Θεώρημα του Brianchon είναι το προβολικό δυϊκό του Θεωρήματος του Pascal: στον Pascal εμφανίζεται μια εντυπωσιακή συνευθειακότητα, ενώ στον Brianchon μια αντίστοιχη συνδρομή ευθειών.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →