🌊 D’Alembert και οι μερικές διαφορικές εξισώσεις — Από τον άνεμο στη δονούμενη χορδή

Το 1747 ήταν μια ιδιαίτερα σημαντική χρονιά για τον Jean le Rond d’Alembert.

Την ίδια χρονιά δημοσίευσε τις Réflexions sur la Cause générale des vents και παρουσίασε στην Ακαδημία την εργασία του για τη μορφή που παίρνει μια τεντωμένη χορδή όταν τίθεται σε ταλάντωση.

Τι κοινό είχαν ένα πρόβλημα για τον άνεμο και ένα πρόβλημα για μια χορδή, όπως αυτή ενός βιολιού;

Το κοινό τους σημείο ήταν ένα νέο και εξαιρετικά ισχυρό μαθηματικό εργαλείο: οι μερικές διαφορικές εξισώσεις. Ο d’Alembert ήταν από τους πρώτους επιστήμονες που τις χρησιμοποίησαν συστηματικά για τη μαθηματική μοντελοποίηση φυσικών φαινομένων.

🎻 Το πρόβλημα της δονούμενης χορδής

Φανταστείτε μια λεπτή χορδή στερεωμένη στα δύο άκρα της. Την τραβάμε ελαφρά από τη θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε.

Πώς μπορούμε να περιγράψουμε μαθηματικά τη θέση κάθε σημείου της χορδής σε κάθε χρονική στιγμή;

Αν \(x\) δηλώνει τη θέση ενός σημείου πάνω στη χορδή, \(t\) τον χρόνο και \(y(x,t)\) την κατακόρυφη μετατόπισή του, τότε — υπό κατάλληλες απλουστευτικές υποθέσεις — ο d’Alembert κατέληξε στην εξίσωση

\[ \boxed{ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} } \]

όταν η σταθερά ταχύτητας του κύματος θεωρείται ίση με \(1\). 

💡 Γιατί λέγεται «μερική» διαφορική εξίσωση;

Η άγνωστη συνάρτηση \(y\) εξαρτάται από περισσότερες από μία μεταβλητές — εδώ από τη θέση \(x\) και τον χρόνο \(t\). Για αυτό εμφανίζονται μερικές παράγωγοι ως προς διαφορετικές μεταβλητές.

🌊 Η περίφημη λύση του d’Alembert

Ο d’Alembert δεν περιορίστηκε στο να γράψει την εξίσωση. Βρήκε και έναν τρόπο επίλυσής της.

Για μια χορδή που αρχικά έχει κάποιο σχήμα \(\phi(x)\) και αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα, η λύση γράφεται:

\[ \boxed{ y(t,x) = \frac12 \left[ \phi(x+t)+\phi(x-t) \right] } \]

Η σχέση αυτή έχει μια εξαιρετικά όμορφη φυσική ερμηνεία. 

Το αρχικό σχήμα της χορδής «χωρίζεται» σε δύο ίσα κύματα:

το ένα ταξιδεύει προς τα δεξιά και το άλλο προς τα αριστερά.

Οι δύο όροι

\[ \phi(x-t) \qquad\text{και}\qquad \phi(x+t) \]

περιγράφουν ακριβώς αυτές τις δύο αντίθετες κινήσεις.

🎵 Ένα απλό μαθηματικό μοντέλο ενός ήχου

Όταν μια χορδή βιολιού ή κιθάρας δονείται, το σχήμα της μεταβάλλεται συνεχώς.

Η εξίσωση κύματος δείχνει ότι αυτή η κίνηση δεν είναι τυχαία: ακολουθεί συγκεκριμένους μαθηματικούς νόμους.

Η ίδια βασική εξίσωση, με κατάλληλες τροποποιήσεις, εμφανίζεται σήμερα σε προβλήματα που αφορούν μηχανικά κύματα, ήχο, ηλεκτρομαγνητικά κύματα και πολλά άλλα φυσικά φαινόμενα.

🤔 Αλλά τι ακριβώς είναι μια «συνάρτηση»;

Η λύση του d’Alembert δημιούργησε αμέσως ένα βαθύτερο μαθηματικό πρόβλημα.

Η συνάρτηση \(\phi\) περιγράφει το αρχικό σχήμα της χορδής. Αλλά ποια σχήματα επιτρέπονται;

Για μια χορδή στερεωμένη στα άκρα απαιτούνται πρόσθετοι περιορισμοί, όπως η κατάλληλη περιοδικότητα της \(\phi\), ώστε η λύση να συμβιβάζεται με τις συνθήκες στα άκρα.

⚔️ Η διαμάχη με τον Euler

Αυτό το ερώτημα οδήγησε σε μία από τις σημαντικότερες μαθηματικές συζητήσεις του 18ου αιώνα, ανάμεσα στον d’Alembert και τον Leonhard Euler.

Ο d’Alembert θεωρούσε ότι η αρχική συνάρτηση \(\phi\) έπρεπε ουσιαστικά να περιγράφεται από μία ενιαία αναλυτική έκφραση.

Ο Euler δεχόταν πολύ ευρύτερες μορφές συναρτήσεων, ακόμη και καμπύλες που δεν μπορούσαν να περιγραφούν από μία μόνο αλγεβρική φόρμουλα.

Η πραγματική φυσική χορδή, άλλωστε, μπορούσε να τραβηχτεί σε σχήματα πολύ πιο γενικά από όσα επέτρεπαν οι στενότερες μαθηματικές αντιλήψεις της εποχής. Η διαμάχη αυτή συνέβαλε καθοριστικά στην εξέλιξη της έννοιας της συνάρτησης και της συνέχειας. 

✨ Το εντυπωσιακό σημείο

Ένα πρόβλημα που ξεκίνησε από μια δονούμενη χορδή δεν οδήγησε μόνο σε μια εξίσωση της Φυσικής. Ανάγκασε τους μαθηματικούς να ξανασκεφτούν τι ακριβώς σημαίνει «συνάρτηση».

🌬️ Από τις χορδές στον άνεμο

Την ίδια περίοδο ο d’Alembert χρησιμοποιούσε ανάλογες μεθόδους και στη μελέτη της γενικής αιτίας των ανέμων.

Αυτό δείχνει μια μεγάλη αλλαγή στον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούνταν τα Μαθηματικά: προβλήματα από τη μηχανική συνεχών μέσων άρχισαν να μεταφράζονται συστηματικά σε εξισώσεις για άγνωστες συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. 

Από τη δεκαετία του 1760, ο d’Alembert και ο Euler άρχισαν πλέον να μελετούν τέτοιες εξισώσεις όχι μόνο ως εργαλεία της Φυσικής αλλά και ως αυτοτελή μαθηματικά αντικείμενα. :chatgpt-content-reference{index="6"}

🎯 Γιατί αυτή η ιστορία είναι σημαντική;

Η εξίσωση της δονούμενης χορδής είναι ένα από τα ιστορικά σημεία όπου τα Μαθηματικά, η Φυσική και η έννοια της συνάρτησης συναντήθηκαν. Από προβλήματα σαν αυτό γεννήθηκε σταδιακά ένας ολόκληρος κλάδος των σύγχρονων Μαθηματικών: η θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →