🔢 Το Μυστηριώδες Διμαγικό Τετράγωνο του David Collison

Το 1991, ο Αμερικανός David M. Collison έστειλε στον Καναδό ερευνητή των μαγικών τετραγώνων John R. Hendricks ένα εντυπωσιακό τετράγωνο \(9\times9\).

Οι 81 θέσεις του περιείχαν, ακριβώς μία φορά, τους αριθμούς από το \(1\) έως το \(81\):

28	13	9	59	66	79	51	44	20
50	8	19	81	58	65	43	30	15
11	77	70	42	46	35	4	27	57
75	33	53	22	2	18	68	61	37
6	72	56	34	41	48	26	10	76
45	21	14	64	80	60	29	49	7
25	55	78	47	36	40	12	5	71
67	52	39	17	24	1	63	74	32
62	38	31	3	16	23	73	69	54

✨ Η πρώτη μαγική ιδιότητα

Προσθέστε τους εννέα αριθμούς οποιασδήποτε γραμμής. Το αποτέλεσμα είναι πάντοτε:

\[ \boxed{369} \]

Το ίδιο συμβαίνει με κάθε στήλη και με τις δύο κύριες διαγωνίους.

Για παράδειγμα, η πρώτη γραμμή δίνει:

\[ 28+13+9+59+66+79+51+44+20=369. \]

Το \(369\) δεν είναι βέβαια τυχαίο. Εφόσον χρησιμοποιούνται όλοι οι ακέραιοι από \(1\) έως \(81\),

\[ 1+2+\cdots+81 =\frac{81\cdot82}{2} =3321. \]

Οι εννέα γραμμές πρέπει να έχουν το ίδιο άθροισμα, επομένως:

\[ \frac{3321}{9}=369. \]

🔥 Και τότε συμβαίνει κάτι πολύ πιο παράξενο

Ας αντικαταστήσουμε τώρα κάθε αριθμό με το τετράγωνό του.

Θα περίμενε κανείς ότι η μαγική ισορροπία θα καταστρεφόταν. Δεν συμβαίνει όμως αυτό.

Το τετράγωνο παραμένει μαγικό!

Κάθε γραμμή, κάθε στήλη και οι δύο κύριες διαγώνιοι έχουν τώρα άθροισμα

\[ \boxed{20\,049}. \]

Για παράδειγμα:

\[ 28^2+13^2+9^2+59^2+66^2+79^2+51^2+44^2+20^2 =20\,049. \]

Και πάλι μπορούμε να καταλάβουμε γιατί αυτή πρέπει να είναι η μαγική σταθερά, εφόσον το τετράγωνο είναι διμαγικό:

\[ 1^2+2^2+\cdots+81^2 =\frac{81\cdot82\cdot163}{6} =180\,441, \]

οπότε

\[ \frac{180\,441}{9}=20\,049. \]

🧠 Τι σημαίνει «διμαγικό»;

Ένα μαγικό τετράγωνο ονομάζεται διμαγικό (bimagic ή 2-multimagic) όταν διατηρεί τη μαγική ιδιότητά του όχι μόνο με τους αρχικούς αριθμούς, αλλά και όταν κάθε στοιχείο αντικατασταθεί από το τετράγωνό του.

📌 Μια σημαντική ιστορική διόρθωση

Το τετράγωνο του Collison έχει παρουσιαστεί σε ορισμένες πηγές ως το πρώτο γνωστό διμαγικό τετράγωνο περιττής τάξης. Αυτό όμως δεν είναι σωστό: ο G. Pfeffermann είχε ήδη δημοσιεύσει διμαγικό τετράγωνο τάξης \(9\) το 1891.

🕯️ Το μυστήριο του Collison

Το ιδιαίτερο ενδιαφέρον της ιστορίας βρίσκεται και στον τρόπο με τον οποίο έφτασε το τετράγωνο στον Hendricks.

Ο Collison το έστειλε από την Καλιφόρνια στον John Hendricks το 1991, χωρίς να αφήσει εξήγηση για τη μέθοδο κατασκευής του. Πέθανε λίγο αργότερα.

❓ Πώς το κατασκεύασε;

Η μέθοδος που χρησιμοποίησε ο Collison για να δημιουργήσει το συγκεκριμένο τετράγωνο δεν έγινε γνωστή.

Έτσι, περισσότερο από έναν αιώνα μετά τα πρώτα διμαγικά τετράγωνα, το συγκεκριμένο \(9\times9\) παραμένει ένα όμορφο παράδειγμα του πόσο εντυπωσιακή δομή μπορεί να κρύβεται μέσα σε μια φαινομενικά απλή διάταξη των αριθμών \(1,2,\ldots,81\).

📚 Πηγές

John R. Hendricks, Bimagic Squares: Order 9 (1999).
Clifford A. Pickover, The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars.
Wolfram MathWorld, Bimagic Square.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →