📐 Το Θεώρημα του Desargues — Από τη συντρέχουσα στη συνευθειακότητα

Έστω δύο τρίγωνα \(ABC\) και \(A'B'C'\). Αν οι ευθείες

\[ AA',\qquad BB',\qquad CC' \]

διέρχονται από το ίδιο σημείο \(O\), ορίζουμε

\[ P=BC\cap B'C',\qquad Q=CA\cap C'A',\qquad R=AB\cap A'B'. \]

Τότε το Θεώρημα του Desargues δηλώνει ότι

\[ \boxed{P,\;Q,\;R\ \text{είναι συνευθειακά}.} \]

🔎 Απόδειξη με το Θεώρημα του Μενελάου

Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Μενελάου στα τρίγωνα \(OAB\), \(OBC\) και \(OCA\), χρησιμοποιώντας αντίστοιχα τις ευθείες \(A'B'\), \(B'C'\) και \(C'A'\).

Πολλαπλασιάζοντας τις τρεις σχέσεις που προκύπτουν, οι ενδιάμεσοι λόγοι απλοποιούνται και μένει

\[ \frac{AR}{RB}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}=-1. \]

Από το αντίστροφο του Θεωρήματος του Μενελάου στο τρίγωνο \(ABC\), συμπεραίνουμε αμέσως ότι

\[ \boxed{P,Q,R\ \text{είναι συνευθειακά}.} \]

💡 Ισχύει και το αντίστροφο: αν οι τομές \(P,Q,R\) των αντίστοιχων πλευρών είναι συνευθειακές, τότε οι \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) συντρέχουν σε ένα σημείο.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →