🔢 Ο Κανόνας Προσήμων του Descartes — Πόσες θετικές και αρνητικές ρίζες έχει ένα πολυώνυμο;

Μπορούμε να πάρουμε πληροφορίες για τις πραγματικές ρίζες ενός πολυωνύμου χωρίς να λύσουμε την εξίσωση;

Ο περίφημος Κανόνας Προσήμων του Descartes δείχνει ότι αρκεί πολλές φορές να κοιτάξουμε κάτι εξαιρετικά απλό: τη σειρά των προσήμων των συντελεστών.

➕ Τι είναι μια αλλαγή προσήμου;

Θεωρούμε ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές, αγνοώντας τυχόν μηδενικούς συντελεστές.

Κάθε φορά που δύο διαδοχικοί μη μηδενικοί συντελεστές έχουν αντίθετα πρόσημα, έχουμε μία αλλαγή προσήμου.

Για παράδειγμα, αν η ακολουθία των προσήμων είναι

\[ +,\;-,\;+,\;-,\;-,\;+, \]

τότε υπάρχουν τέσσερις αλλαγές προσήμου.

⭐ Ο Κανόνας του Descartes

Αν ένα πολυώνυμο \(P(x)\) έχει \(V\) αλλαγές προσήμου, τότε ο αριθμός των θετικών πραγματικών ριζών του, μετρώντας και τις πολλαπλότητές τους,

δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από \(V\)

και διαφέρει από το \(V\) κατά έναν άρτιο αριθμό.

Άρα, αν έχουμε \(5\) αλλαγές προσήμου, ο αριθμός των θετικών πραγματικών ριζών μπορεί να είναι

\[ 5,\qquad3,\qquad1. \]

Δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε τις ίδιες τις ρίζες για να αποκτήσουμε αυτή την πληροφορία.

🧩 Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα

Ας θεωρήσουμε το πολυώνυμο

\[ P(x)=x^6-6x^5+10x^4-2x^3-3x^2+4x-12. \]

Η ακολουθία των προσήμων είναι

\[ +,\;-,\;+,\;-,\;-,\;+,\;-. \]

Επομένως έχουμε

\[ V=5. \]

Ο Κανόνας του Descartes μάς λέει αμέσως ότι το \(P(x)\) μπορεί να έχει

\[ \boxed{5,\;3\;\text{ή}\;1} \]

θετικές πραγματικές ρίζες.

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, όπως αναφέρεται στο αρχικό κείμενο, οι πραγματικές ρίζες είναι

\[ -1,\qquad2\;(\text{διπλή}),\qquad3, \]

ενώ υπάρχουν και δύο μη πραγματικές ρίζες. Άρα έχουμε πράγματι τρεις θετικές ρίζες αν υπολογίσουμε τις πολλαπλότητες.

➖ Και οι αρνητικές ρίζες;

Υπάρχει ένα πολύ απλό τέχνασμα: αντί να εξετάσουμε το \(P(x)\), εξετάζουμε

\[ P(-x). \]

Κάθε αρνητική ρίζα \(r\) του \(P(x)\) αντιστοιχεί στη θετική ρίζα \(-r\) του \(P(-x)\).

Επομένως εφαρμόζουμε τον ίδιο ακριβώς κανόνα στο \(P(-x)\) και αποκτούμε πληροφορίες για τον αριθμό των αρνητικών πραγματικών ριζών του αρχικού πολυωνύμου.

🔍 Γιατί λειτουργεί;

Η βασική ιδέα της απόδειξης είναι να παρακολουθήσουμε τι συμβαίνει στις αλλαγές προσήμου όταν πολλαπλασιάζουμε ένα πολυώνυμο με έναν γραμμικό παράγοντα που αντιστοιχεί σε θετική ρίζα:

\[ (x-r),\qquad r>0. \]

Κάθε τέτοιος παράγοντας αυξάνει τον αριθμό των αλλαγών προσήμου κατά έναν θετικό περιττό αριθμό.

Αντίθετα, οι παράγοντες που προέρχονται από αρνητικές ρίζες ή από μη πραγματικές συζυγείς ρίζες δεν μπορούν να αναιρέσουν αυτή τη βασική πληροφορία. Έτσι ο αριθμός των θετικών ριζών δεν μπορεί να ξεπεράσει τον αριθμό των αλλαγών προσήμου και η διαφορά τους παραμένει άρτια.

💡 Τι μας δίνει — και τι δεν μας δίνει

Ο Κανόνας του Descartes δεν μας λέει πάντοτε τον ακριβή αριθμό των θετικών ή αρνητικών ριζών. Μας δίνει όμως ένα πολύ ισχυρό σύνολο δυνατών τιμών, χωρίς να χρειαστεί να παραγοντοποιήσουμε ή να λύσουμε το πολυώνυμο.

🎯 Δοκίμασέ το

Για το πολυώνυμο

\[ P(x)=x^6+6x^5+10x^4+2x^3-3x^2-4x-12, \]

πόσες αρνητικές πραγματικές ρίζες μπορεί να έχει;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Μην προσπαθήσεις να λύσεις την εξίσωση. Υπολόγισε πρώτα το \(P(-x)\) και μέτρησε τις αλλαγές προσήμου των μη μηδενικών συντελεστών του.

🔢 Μερικές φορές δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε τις ρίζες.
Αρκεί να παρατηρήσουμε τα πρόσημα.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →