💰 Συνεχής Ανατοκισμός: Πώς εμφανίζεται ο αριθμός e και ποιο είναι το πραγματικό επιτόκιο του 8%;

Ένας μαθητής προσπαθεί να καταλάβει τι συμβαίνει όταν ο τόκος κεφαλαιοποιείται όλο και συχνότερα.

Ο απλός τόκος είναι εύκολος. Αν \(C\) είναι το αρχικό κεφάλαιο, \(R\) το ετήσιο επιτόκιο και \(T\) ο χρόνος σε έτη, τότε:

\[ C(1+RT). \]

Στον σύνθετο τόκο, όμως, οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και στη συνέχεια παράγουν και αυτοί τόκο.

Αν η κεφαλαιοποίηση γίνεται μία φορά τον χρόνο, έχουμε:

\[ C(1+R)^T. \]

Τι συμβαίνει όμως αν η κεφαλαιοποίηση γίνεται πολλές φορές μέσα στο ίδιο έτος;

📈 Όλο και συχνότερος ανατοκισμός

Αν έχουμε \(N\) περιόδους κεφαλαιοποίησης τον χρόνο, τότε το επιτόκιο κάθε περιόδου είναι

\[ \frac{R}{N}, \]

ενώ σε \(T\) χρόνια πραγματοποιούνται συνολικά

\[ NT \]

ανατοκισμοί.

Επομένως το τελικό κεφάλαιο είναι:

\[ C\left(1+\frac{R}{N}\right)^{NT}. \]

Για παράδειγμα, στη μηνιαία κεφαλαιοποίηση έχουμε \(N=12\).

Αλλά τώρα γεννιέται μια πολύ ενδιαφέρουσα ιδέα:

🤔 Τι θα συμβεί αν κάνουμε την κεφαλαιοποίηση όλο και συχνότερα;

Και τι θα συμβεί αν θεωρητικά ο αριθμός των περιόδων τείνει στο άπειρο;

♾️ Το όριο που φέρνει τον \(e\)

Τότε εμφανίζεται φυσικά ένα όριο:

\[ \lim_{N\to\infty} C\left(1+\frac{R}{N}\right)^{NT}. \]

Χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες όριο

\[ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e, \]

καταλήγουμε στον τύπο του συνεχούς ανατοκισμού:

\[ \boxed{A=Ce^{RT}} \]

Και κάπως έτσι ο περίφημος αριθμός

\[ e=2.718281828459\ldots \]

εμφανίζεται με απόλυτα φυσικό τρόπο σε ένα πρόβλημα οικονομικής αύξησης.

Παρά τη δεκαδική του παράσταση, ο \(e\) δεν είναι ρητός αριθμός· δεν μπορεί δηλαδή να γραφτεί ως λόγος δύο ακεραίων.

🏦 Και τώρα το πρόβλημα

Μια τράπεζα προσφέρει για κατάθεση ενός έτους συνεχές ετήσιο επιτόκιο 8%.

Δηλαδή:

\[ R=0.08,\qquad T=1. \]

Στο τέλος του έτους το κεφάλαιο θα είναι:

\[ A=Ce^{0.08}. \]

Όμως το \(8\%\) εδώ είναι το ονομαστικό συνεχές επιτόκιο. Λόγω του συνεχούς ανατοκισμού, η πραγματική ποσοστιαία αύξηση του κεφαλαίου σε έναν χρόνο είναι διαφορετική.

❓ Πρόκληση

Αν \(R=8\%\) με συνεχή ανατοκισμό, ποιο είναι το πραγματικό ετήσιο επιτόκιο;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Μετά από έναν χρόνο, κάθε \(1\) ευρώ αρχικού κεφαλαίου έχει γίνει

\[ e^{0.08}. \]

Άρα για να βρείτε την ποσοστιαία αύξηση, συγκρίνετε το \(e^{0.08}\) με το αρχικό \(1\).

💡 Το αποτέλεσμα είναι λίγο μεγαλύτερο από 8%. Πόσο ακριβώς;

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →