Το 1966, δύο Αμερικανοί μαθηματικοί, οι L. J. Lander και T. R. Parkin, χρησιμοποίησαν έναν υπολογιστή CDC 6600 για να αναζητήσουν αριθμητικά αντιπαραδείγματα σε μια παλιά εικασία του Leonhard Euler.
Και βρήκαν αυτό:
\[ 27^5+84^5+110^5+133^5=144^5. \]Η σχέση αυτή ήταν αρκετή για να καταρρίψει μια εικασία που είχε επιβιώσει για περισσότερο από δύο αιώνες.
Τι είχε εικάσει ο Euler;
Σε μια γενίκευση του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat, ο Euler είχε προτείνει ότι για να γραφτεί μία θετική \(n\)-οστή δύναμη ως άθροισμα θετικών \(n\)-οστών δυνάμεων, θα χρειάζονταν τουλάχιστον \(n\) όροι.
Για πέμπτες δυνάμεις, αυτό θα σήμαινε ότι θα χρειάζονταν τουλάχιστον πέντε πέμπτες δυνάμεις.
Όμως οι Lander και Parkin βρήκαν τέσσερις:
\[ 27^5+84^5+110^5+133^5=144^5. \]Άρα η εικασία ήταν λανθασμένη.
Η ανακάλυψη έγινε με άμεση υπολογιστική αναζήτηση σε CDC 6600 — έναν από τους ισχυρότερους υπολογιστές της εποχής.
Ένα paper δύο προτάσεων
Η ανακοίνωση του αποτελέσματος ήταν σχεδόν όσο σύντομη μπορούσε να είναι μια μαθηματική δημοσίευση.
Στο Bulletin of the American Mathematical Society, οι Lander και Parkin έγραψαν ουσιαστικά δύο πράγματα: ότι μια άμεση αναζήτηση στον CDC 6600 έδωσε το συγκεκριμένο παράδειγμα και ότι αυτό αποτελεί αντιπαράδειγμα στην εικασία του Euler.
Τίποτε περισσότερο δεν χρειαζόταν. Ένα μόνο σωστό αντιπαράδειγμα αρκεί για να καταρρίψει μια καθολική εικασία.
23 χρόνια αργότερα: AIME 1989
Το ίδιο αριθμητικό θαύμα επανεμφανίστηκε το 1989 ως Problem 9 του American Invitational Mathematics Examination.
Οι διαγωνιζόμενοι έπρεπε να βρουν το θετικό ακέραιο \(n\) που ικανοποιεί:
\[ 133^5+110^5+84^5+27^5=n^5. \]Η απάντηση είναι βέβαια
\[ \boxed{n=144}. \]Το ενδιαφέρον όμως δεν είναι τόσο ο ίδιος ο υπολογισμός όσο η ιστορία που κρύβεται πίσω από την εξίσωση: ένα αποτέλεσμα ερευνητικών μαθηματικών του 1966 μετατράπηκε, 23 χρόνια αργότερα, σε πρόβλημα μαθητικού διαγωνισμού.
Μια μικρή ιστορική ασυνέπεια
Η εκφώνηση του AIME αναφέρει ότι η εικασία του Euler καταρρίφθηκε από τρεις Αμερικανούς μαθηματικούς.
Όμως το αρχικό paper του 1966 αναφέρει μόνο τους L. J. Lander και T. R. Parkin.
Ο John Selfridge εμφανίζεται στο μεταγενέστερο έργο τους: το 1967 οι Lander, Parkin και Selfridge δημοσίευσαν ευρύτερη μελέτη για αθροίσματα ίδιων δυνάμεων και διατύπωσαν τη γνωστή πλέον εικασία Lander–Parkin–Selfridge.
Άρα η αναφορά του AIME στους «τρεις» δεν συμφωνεί κυριολεκτικά με το αρχικό paper της ανακάλυψης του 1966.
Μια εικασία δύο αιώνων κατέρρευσε.
Και αυτό είναι ένα από τα πιο όμορφα μαθήματα της ιστορίας των μαθηματικών: η ισχύς μιας εικασίας μπορεί να είναι τεράστια — αλλά αρκεί ένα μόνο σωστό παράδειγμα για να αλλάξει ολόκληρη την εικόνα.
Πηγές: L. J. Lander & T. R. Parkin, Counterexample to Euler's Conjecture on Sums of Like Powers, Bulletin of the AMS, 1966 · 1989 AIME, Problem 9 · Lander, Parkin & Selfridge, survey on equal sums of like powers, 1967.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου