∑ Η εκπληκτική φόρμουλα του Euler για τη συνάρτηση ζήτα

Η συνάρτηση ζήτα του Riemann, για \(s>1\), ορίζεται από την άπειρη σειρά

\[ \zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^s}. \]

Ο Leonhard Euler ανακάλυψε ότι όταν ο εκθέτης είναι άρτιος θετικός ακέραιος, οι τιμές της μπορούν να γραφτούν με έναν εντυπωσιακό κλειστό τύπο:

\[ \boxed{ \zeta(2n)= (-1)^{n+1} \frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}} {2(2n)!} } \]

όπου \(B_{2n}\) είναι οι αριθμοί Bernoulli.

Για παράδειγμα, όταν \(n=1\), παίρνουμε το περίφημο αποτέλεσμα του προβλήματος της Βασιλείας:

\[ \zeta(2) = 1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots = \frac{\pi^2}{6}. \]

Για τις επόμενες άρτιες δυνάμεις προκύπτουν αντίστοιχα:

\[ \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}, \qquad \zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}. \]

💡 Το εντυπωσιακό σημείο

Ένα άπειρο άθροισμα από απλούς ρητούς όρους καταλήγει να συνδέεται ακριβώς με δυνάμεις του \(\pi\) και τους αριθμούς Bernoulli.

Η εικόνα παρουσιάζει επίσης έναν ενδιαφέροντα δυαδικό τρόπο υπολογισμού των αριθμών Bernoulli, οι οποίοι εμφανίζονται φυσικά όχι μόνο στη φόρμουλα του Euler αλλά και σε τύπους για αθροίσματα δυνάμεων διαδοχικών ακεραίων.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →