Τι σχέση μπορεί να έχουν ορισμένοι εξαιρετικά σπάνιοι πρώτοι αριθμοί με το ερώτημα αν μπορούμε να σχεδιάσουμε ένα κανονικό πολύγωνο χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη;
Η απάντηση συνδέει δύο φαινομενικά διαφορετικούς κόσμους των Μαθηματικών: τη Θεωρία Αριθμών και την κλασική Ευκλείδεια Γεωμετρία.
🔢 Οι αριθμοί του Fermat
Ο Pierre de Fermat μελέτησε αριθμούς της μορφής
\[ F_n=2^{2^n}+1. \]
Για τις πρώτες πέντε τιμές του \(n\) παίρνουμε:
\[ 3,\quad5,\quad17,\quad257,\quad65537, \]
και όλοι αυτοί είναι πρώτοι αριθμοί.
Ο Fermat πίστεψε ότι ίσως όλοι οι αριθμοί αυτής της μορφής είναι πρώτοι. Όμως ο Euler έδειξε αργότερα ότι ήδη ο επόμενος αριθμός αποτυγχάνει:
\[ F_5=2^{32}+1=4294967297 \]
\[ 4294967297=641\cdot6700417. \]
🧭 Η έκπληξη του Gauss
Το 1796, σε ηλικία μόλις 19 ετών, ο Carl Friedrich Gauss ανακάλυψε ότι το κανονικό 17-γωνο μπορεί να κατασκευαστεί μόνο με κανόνα και διαβήτη.
Η ανακάλυψη ήταν εντυπωσιακή, επειδή το \(17\) είναι ένας από τους πρώτους αριθμούς του Fermat:
\[ 17=2^{2^2}+1. \]
Το ζήτημα της κατασκευής κανονικών πολυγώνων αποδείχθηκε ότι συνδέεται βαθιά με την παραγοντοποίηση του αριθμού των πλευρών τους.
Το πλήρες αποτέλεσμα, γνωστό σήμερα ως Θεώρημα Gauss–Wantzel, λέει ότι ένα κανονικό \(n\)-γωνο είναι κατασκευάσιμο με κανόνα και διαβήτη ακριβώς όταν
\[ n=2^k p_1p_2\cdots p_r, \]
όπου τα \(p_1,p_2,\ldots,p_r\) είναι διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί του Fermat.
Έτσι, για παράδειγμα, είναι κατασκευάσιμα τα κανονικά πολύγωνα με
\[ 3,\;4,\;5,\;6,\;8,\;10,\;12,\;15,\;17,\ldots \]
πλευρές, ενώ ένα κανονικό \(7\)-γωνο ή \(9\)-γωνο δεν μπορεί να κατασκευαστεί ακριβώς μόνο με τον κλασικό κανόνα και διαβήτη.
Μέχρι σήμερα οι μόνοι γνωστοί πρώτοι αριθμοί του Fermat είναι \[ 3,\;5,\;17,\;257,\;65537. \] Δεν είναι γνωστό αν υπάρχει έστω ένας ακόμη. Μια νέα ανακάλυψη θα πρόσθετε αυτομάτως και νέες οικογένειες κλασικά κατασκευάσιμων κανονικών πολυγώνων.
🔢 Ένα πρόβλημα για πρώτους αριθμούς
κρύβει μέσα του ένα πρόβλημα καθαρής Γεωμετρίας.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου