🔢 Τέσσερα εννιάρια και ένας ασύλληπτος αριθμός: Ο «μετρήσιμος άπειρος» του Gauss

Με μόλις τέσσερα ψηφία \(9\) μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό

\[ G=9^{9^{9^9}}. \]

Προσοχή στη σειρά: η εκθέτωση διαβάζεται από πάνω προς τα κάτω, δηλαδή πρώτα υπολογίζεται το \(9^9\), μετά το \(9^{9^9}\) και τέλος το εξωτερικό \(9\).

Πόσο μεγάλος είναι;

Γνωρίζουμε ότι

\[ 9^{9^9} \]

έχει \(369\,693\,100\) ψηφία.

Αυτός ο ίδιος ο τεράστιος αριθμός γίνεται τώρα εκθέτης του \(9\). Άρα το πλήθος των ψηφίων του \(G\) είναι περίπου της τάξης

\[ 10^{369\,693\,100}. \]

Ένας αριθμός που γράφεται με τέσσερα μόνο ψηφία \(9\) χρειάζεται ασύλληπτα περισσότερα ψηφία για να γραφτεί ολόκληρος.

Κι όμως, ξέρουμε πώς τελειώνει

Παρόλο που δεν μπορούμε πρακτικά να γράψουμε ολόκληρο τον αριθμό, μπορούμε να υπολογίσουμε τα τελευταία ψηφία του με modular arithmetic.

Τα τελευταία 10 ψηφία είναι:

\[ \boxed{1045865289}. \]

Αυτό είναι ένα όμορφο παράδειγμα του πόσο διαφορετικό είναι το «δεν μπορώ να γράψω έναν αριθμό ολόκληρο» από το «δεν μπορώ να γνωρίζω τίποτε γι’ αυτόν».

Μια ιστορική σημείωση

Σε παλιότερη μαθηματική βιβλιογραφία ο αριθμός αυτός συνδέθηκε με τη φράση «measurable infinity», που αποδίδεται στον Carl Friedrich Gauss. Η φράση χρησιμοποιείται περισσότερο για να αποδώσει το ασύλληπτο μέγεθος του αριθμού παρά ως αυστηρός μαθηματικός όρος.

Μερικές φορές τέσσερα ψηφία αρκούν για να περιγράψουν έναν αριθμό που δεν θα μπορούσαμε ποτέ να γράψουμε πλήρως.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →