🥧 Η πανέμορφη σειρά Gregory–Leibniz για το π — Γιατί είναι τόσο αργή;

Μία από τις ομορφότερες εκφράσεις του αριθμού \(\pi\) είναι ταυτόχρονα και μία από τις πιο... υπομονετικές.

Πρόκειται για τη διάσημη σειρά

\[ \boxed{ \frac{\pi}{4} = 1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\frac1{11}+\cdots } \]

ή ισοδύναμα

\[ \boxed{ \pi= 4\left( 1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots \right). } \]

Η απλότητά της είναι εντυπωσιακή: μόνο οι περιττοί αριθμοί και εναλλασσόμενα πρόσημα αρκούν για να οδηγηθούμε στον \(\pi\).

🐌 Το πρόβλημα: συγκλίνει πολύ αργά

Αν υπολογίσουμε διαδοχικά μερικά αθροίσματα, παίρνουμε:

\[ 4=4, \] \[ 4\left(1-\frac13\right)\approx2.6667, \] \[ 4\left(1-\frac13+\frac15\right)\approx3.4667, \] \[ 4\left(1-\frac13+\frac15-\frac17\right)\approx2.8952. \]

Οι προσεγγίσεις βρίσκονται εναλλάξ πάνω και κάτω από την πραγματική τιμή

\[ \pi\approx3.1415926535\ldots \]

και πλησιάζουν τον στόχο εξαιρετικά αργά.

🐌 Πόσο αργά;

Ακόμη και εκατοντάδες όροι δίνουν σχετικά μικρή ακρίβεια. Για να εξασφαλίσουμε, μέσω του κλασικού φράγματος σφάλματος της εναλλάσσουσας σειράς, ότι η προσέγγιση βρίσκεται αρκετά κοντά ώστε να δίνει το \(\pi\) σωστό στα δύο δεκαδικά ψηφία, χρειαζόμαστε περίπου 400 όρους — όχι απλώς λίγες δεκάδες.

📐 Από πού εμφανίζεται αυτή η σειρά;

Η προέλευσή της γίνεται ιδιαίτερα όμορφη αν ξεκινήσουμε από τη γεωμετρική σειρά:

\[ \frac{1}{1+x^2} = 1-x^2+x^4-x^6+\cdots. \]

Ολοκληρώνοντας από \(0\) έως \(1\), παίρνουμε

\[ \int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,dx = 1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots. \]

Αλλά

\[ \int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,dx = \left[\arctan x\right]_0^1 = \frac{\pi}{4}. \]

Και έτσι εμφανίζεται η σειρά Gregory–Leibniz:

\[ \boxed{ \frac{\pi}{4} = 1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots }. \]

📜 Gregory και Leibniz

Η σειρά συνδέεται με τον Σκωτσέζο μαθηματικό James Gregory, ο οποίος δημοσίευσε το 1671 τη γενικότερη ανάπτυξη της \(\arctan x\):

\[ \arctan x = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots. \]

Θέτοντας \(x=1\), προκύπτει αμέσως η σειρά για το \(\pi\). Λίγα χρόνια αργότερα ο Gottfried Wilhelm Leibniz την ανακάλυψε ανεξάρτητα, γι' αυτό σήμερα είναι γνωστή ως σειρά Gregory–Leibniz.

✨ Η ομορφιά δεν βρίσκεται στην ταχύτητα

Για τον πραγματικό υπολογισμό εκατομμυρίων ή δισεκατομμυρίων ψηφίων του \(\pi\), υπάρχουν ασύγκριτα ταχύτεροι αλγόριθμοι. Η αξία της σειράς Gregory–Leibniz βρίσκεται αλλού: σε μια εξαιρετικά απλή ακολουθία κλασμάτων κρύβεται ένας από τους σημαντικότερους αριθμούς των Μαθηματικών.

\[ 1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots \] Μια ατελείωτη διαδρομή που, όσο αργά κι αν προχωρά,
οδηγεί τελικά στο \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →