📐 Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί II — Μια μεταφορά αποκαλύπτει την ισότητα δύο γωνιών

📐 Μια βοηθητική κατασκευή αποκαλύπτει την ισότητα δύο γωνιών

Έστω κυρτό τετράπλευρο \(ABCD\) με

\[ AD=BC. \]

Τα \(E\) και \(F\) είναι τα μέσα των \(CD\) και \(AB\), αντίστοιχα. Οι ημιευθείες \(AD\) και \(FE\) τέμνονται στο \(H\), ενώ οι ημιευθείες \(BC\) και \(FE\) τέμνονται στο \(G\).

Να αποδειχθεί ότι

\[ \boxed{\angle AHF=\angle BGF}. \]

➡️ Η βοηθητική κατασκευή

Το δεδομένο \(AD=BC\) συνδέει δύο πλευρές που βρίσκονται σε διαφορετικά σημεία του σχήματος. Η κατάλληλη βοηθητική κατασκευή θα τις φέρει, κατά κάποιον τρόπο, στο ίδιο τρίγωνο.

Κατασκευάζουμε λοιπόν το σημείο \(I\) έτσι ώστε το τετράπλευρο

\[ BCAI \]

να είναι παραλληλόγραμμο.

Από τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου έχουμε

\[ AI=BC \]

και

\[ AI\parallel BC. \]

Επειδή όμως από την υπόθεση

\[ AD=BC, \]

προκύπτει αμέσως ότι

\[ \boxed{AD=AI}. \]

🔺 Το κρυμμένο ισοσκελές τρίγωνο

Η σχέση \(AD=AI\) σημαίνει ότι το τρίγωνο \(ADI\) είναι ισοσκελές με βάση \(DI\).

Επομένως οι γωνίες της βάσης του είναι ίσες:

\[ \boxed{\angle ADI=\angle AID}. \]

Αυτή είναι η βασική ισότητα που θα συνδεθεί με τις δύο γωνίες του προβλήματος.

🔗 Πού χρησιμοποιούνται τα μέσα \(E\) και \(F\);

Επειδή το \(BCAI\) είναι παραλληλόγραμμο, οι διαγώνιοί του \(BA\) και \(CI\) διχοτομούνται.

Το \(F\) είναι, από την υπόθεση, το μέσο του \(AB\). Άρα, ως σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου, είναι ταυτόχρονα και μέσο του \(CI\).

Έτσι, στο τρίγωνο \(CDI\):

• το \(E\) είναι μέσο του \(CD\),
• το \(F\) είναι μέσο του \(CI\).

Από το θεώρημα του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου παίρνουμε

\[ \boxed{EF\parallel DI}. \]

Παράλληλα, από το παραλληλόγραμμο έχουμε ήδη

\[ \boxed{AI\parallel BC}. \]

✨ Η τελική σύνδεση των γωνιών

Επειδή τα \(A,D,H\) είναι συνευθειακά και

\[ HF\parallel DI, \]

έχουμε

\[ \angle AHF=\angle ADI. \]

Από την άλλη, τα \(B,C,G\) είναι συνευθειακά και

\[ GF\parallel DI,\qquad BC\parallel AI. \]

Επομένως

\[ \angle BGF=\angle AID. \]

Αλλά το τρίγωνο \(ADI\) είναι ισοσκελές, άρα

\[ \angle ADI=\angle AID. \]

Συνεπώς

\[ \boxed{\angle AHF=\angle BGF}. \]

💡 Η ουσία της κατασκευής

Το βοηθητικό παραλληλόγραμμο μετατρέπει την αρχική ισότητα \(AD=BC\) στην πολύ πιο χρήσιμη σχέση \(AD=AI\). Έτσι εμφανίζεται το ισοσκελές τρίγωνο \(ADI\), ενώ τα μέσα \(E\) και \(F\) δίνουν την κρίσιμη παραλληλία \(EF\parallel DI\). Οι ζητούμενες γωνίες μεταφέρονται τότε στις ίσες γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου.

📐 Μερικές φορές η λύση δεν φαίνεται στο αρχικό σχήμα.
Εμφανίζεται όταν προσθέσουμε το κατάλληλο βοηθητικό στοιχείο.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →