📐 Η Ανισότητα του Jensen — Όταν η κυρτότητα μετατρέπει πολλά σε ένα

Πώς μπορούμε να συγκρίνουμε

\[ f(x_1),\,f(x_2),\,\ldots,\,f(x_n) \]

με την τιμή της ίδιας συνάρτησης στον μέσο όρο των \(x_1,x_2,\ldots,x_n\);

Η απάντηση δίνεται από μία από τις σημαντικότερες ανισότητες της Μαθηματικής Ανάλυσης: την Ανισότητα του Jensen.

📈 Πρώτα: τι σημαίνει κυρτή συνάρτηση;

Μια συνάρτηση \(f\) λέγεται κυρτή σε ένα διάστημα \(I\), αν για κάθε \(x_1,x_2\in I\) και \(0\le t\le1\) ισχύει

\[ f\big((1-t)x_1+tx_2\big) \le (1-t)f(x_1)+tf(x_2). \]

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία της γραφικής παράστασης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση.

Αν η \(f\) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, ένα πολύ χρήσιμο κριτήριο είναι

\[ f''(x)\ge0. \]

Αντίστοιχα, για μια κοίλη συνάρτηση οι ανισότητες αντιστρέφονται.

⭐ Η Ανισότητα του Jensen

Αν η \(f\) είναι κυρτή και \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) ανήκουν στο διάστημα ορισμού της, τότε

\[ \boxed{ f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right) \le \frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n} }. \]

Με άλλα λόγια:

Η τιμή μιας κυρτής συνάρτησης στον μέσο όρο
δεν ξεπερνά τον μέσο όρο των τιμών της.

⚖️ Η σταθμισμένη μορφή

Η ισχυρότερη μορφή χρησιμοποιεί βάρη \(t_1,t_2,\ldots,t_n\ge0\) με

\[ t_1+t_2+\cdots+t_n=1. \]

Τότε

\[ \boxed{ f(t_1x_1+t_2x_2+\cdots+t_nx_n) \le t_1f(x_1)+t_2f(x_2)+\cdots+t_nf(x_n) }. \]

Για αυστηρά κυρτή συνάρτηση και θετικά βάρη, η ισότητα εμφανίζεται όταν

\[ x_1=x_2=\cdots=x_n. \]

🔄 Και για κοίλες συναρτήσεις;

Αν η \(f\) είναι κοίλη, η φορά αντιστρέφεται:

\[ \boxed{ f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right) \ge \frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n} }. \]

Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για συναρτήσεις όπως η \(\sin x\) στο διάστημα \([0,\pi]\).

🔺 Μια όμορφη εφαρμογή σε τρίγωνο

Έστω τρίγωνο \(ABC\). Να αποδειχθεί ότι

\[ \boxed{ \sin A+\sin B+\sin C\le\frac{3\sqrt3}{2} }. \]

Η συνάρτηση

\[ f(x)=\sin x \]

είναι κοίλη στο \([0,\pi]\). Εφαρμόζοντας Jensen στις γωνίες \(A,B,C\), έχουμε

\[ \frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3} \le \sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right). \]

Επειδή

\[ A+B+C=\pi, \]

παίρνουμε

\[ \sin A+\sin B+\sin C \le 3\sin\frac{\pi}{3} = \boxed{\frac{3\sqrt3}{2}}. \]

Η ισότητα εμφανίζεται όταν

\[ A=B=C=\frac{\pi}{3}, \]

δηλαδή όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

🧠 Πότε να σκεφτούμε Jensen;

Ένα καλό σημάδι είναι να έχουμε μια παράσταση

\[ f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n) \]

και ταυτόχρονα να γνωρίζουμε το άθροισμα ή τον μέσο όρο των \(x_i\).

Τότε αξίζει να εξετάσουμε αν η \(f\) είναι κυρτή ή κοίλη. Αν είναι, το Jensen μπορεί να μετατρέψει ολόκληρο το άθροισμα σε μία μόνο τιμή της συνάρτησης.

💡 Η γεωμετρική ουσία

Η Ανισότητα του Jensen δεν είναι απλώς ένα αλγεβρικό τέχνασμα. Εκφράζει μια βασική γεωμετρική ιδιότητα της γραφικής παράστασης μιας κυρτής ή κοίλης συνάρτησης. Η μορφή της καμπύλης είναι αυτή που καθορίζει τη φορά της ανισότητας.

📐 Πολλές τιμές μιας συνάρτησης, ένας μέσος όρος και η γεωμετρία της καμπύλης.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →