🏝️ Το μυστήριο των αποστάσεων στο νησί — Πόσο απέχουν τα K και L;

Στο εσωτερικό ενός καταπράσινου νησιού βρίσκεται μια μικρή λίμνη. Το κέντρο της, που συμβολίζουμε με \(O\), απέχει από τα σημεία \(K\), \(L\) και \(M\), αντίστοιχα:

\[ OK=4\text{ km},\quad OL=2\text{ km},\quad OM=6\text{ km}. \]

Τα σημεία \(O,L,M\) είναι συνευθειακά, με το \(L\) να βρίσκεται ανάμεσα στα \(O\) και \(M\), όπως φαίνεται στο σχήμα.

Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι:

\[ KM=2\sqrt7\text{ km}. \]

❓ Πόση είναι η απόσταση \(KL\);

A) \(2\) B) \(2\sqrt2\) Γ) \(3\) Δ) \(2\sqrt3\) Ε) \(4\)

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Στο τρίγωνο \(KOM\) γνωρίζουμε και τις τρεις πλευρές. Εφαρμόστε τον νόμο των συνημιτόνων για να υπολογίσετε τη γωνία \(\angle KOM\).

Στη συνέχεια παρατηρήστε ότι, επειδή το \(L\) ανήκει στο τμήμα \(OM\), ισχύει:

\[ \angle KOL=\angle KOM. \]

Μπορείτε τώρα να υπολογίσετε το \(KL\) στο τρίγωνο \(KOL\).

✅ Εμφάνιση αναλυτικής λύσης

1ο βήμα — Το τρίγωνο \(KOM\)

Εφαρμόζουμε τον νόμο των συνημιτόνων:

\[ KM^2=OK^2+OM^2 -2\cdot OK\cdot OM\cos\widehat{KOM}. \] \[ (2\sqrt7)^2=4^2+6^2 -2\cdot4\cdot6\cos\widehat{KOM}. \] \[ 28=52-48\cos\widehat{KOM}. \] \[ \cos\widehat{KOM}=\frac12. \]

2ο βήμα — Το τρίγωνο \(KOL\)

Επειδή τα \(O,L,M\) είναι συνευθειακά και το \(L\) βρίσκεται μεταξύ των \(O\) και \(M\), έχουμε:

\[ \cos\widehat{KOL}=\frac12. \]

Εφαρμόζουμε ξανά τον νόμο των συνημιτόνων:

\[ KL^2=OK^2+OL^2 -2\cdot OK\cdot OL\cos\widehat{KOL}. \] \[ KL^2=4^2+2^2 -2\cdot4\cdot2\cdot\frac12. \] \[ KL^2=16+4-8=12. \] \[ \boxed{KL=2\sqrt3\text{ km}} \]

Σωστή απάντηση: Δ) \(2\sqrt3\)

Παρατήρηση: Το κλειδί του προβλήματος είναι η σωστή αναγνώριση της συνευθειακότητας των σημείων \(O,L,M\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →