📐 Το Θεώρημα του Newton — Τέσσερις ευθείες που περνούν από το ίδιο σημείο

Έστω τετράπλευρο \(ABCD\) περιγεγραμμένο σε έναν κύκλο. Οι πλευρές \(AB,BC,CD,DA\) εφάπτονται στον κύκλο στα σημεία \(E,F,G,H\) αντίστοιχα.

Τότε οι τέσσερις ευθείες

\[ \boxed{AC,\quad BD,\quad EG,\quad FH} \]

περνούν από το ίδιο σημείο.

🔎 Η σύνδεση με το Θεώρημα του Pascal

Θέτουμε

\[ O=EG\cap FH \]

και \(X=EH\cap FG\).

Επειδή το \(D\) είναι η τομή των εφαπτομένων του κύκλου στα \(G\) και \(H\), εφαρμόζοντας το Θεώρημα του Pascal στην εκφυλισμένη περίπτωση

\[ E,G,G,F,H,H, \]

προκύπτει ότι τα \(O,D,X\) είναι συνευθειακά.

Με ανάλογη εφαρμογή του Pascal στα

\[ E,E,H,F,F,G, \]

παίρνουμε ότι τα \(B,X,O\) είναι συνευθειακά. Επομένως τα \(B,O,D\) βρίσκονται στην ίδια ευθεία και άρα η \(BD\) περνά από το \(O\).

Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι και η \(AC\) περνά από το \(O\).

\[ \boxed{AC\cap BD\cap EG\cap FH=\{O\}} \]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →