📐 Το Θεώρημα του Pascal — Έξι σημεία σε μια κωνική και μία απροσδόκητη ευθεία

Έστω έξι σημεία \(A,B,C,D,E,F\) πάνω σε έναν κύκλο, όχι απαραίτητα με αυτή την κυκλική σειρά.

Ορίζουμε τα σημεία τομής των τριών ζευγών απέναντι πλευρών:

\[ P=AB\cap DE, \] \[ Q=BC\cap EF, \] \[ R=CD\cap FA. \]

Τότε συμβαίνει κάτι εντυπωσιακό:

\[ \boxed{P,\;Q,\;R\ \text{είναι συνευθειακά}.} \]

Η ευθεία που τα περιέχει ονομάζεται ευθεία του Pascal.

🔎 Η σύνδεση με το Θεώρημα του Μενελάου

Μια όμορφη απόδειξη προκύπτει εφαρμόζοντας επανειλημμένα το Θεώρημα του Μενελάου σε κατάλληλα τρίγωνα του σχήματος.

Οι σχέσεις που προκύπτουν πολλαπλασιάζονται και, χρησιμοποιώντας τις αναλογίες που δίνει η κυκλικότητα των \(A,B,C,D,E,F\), καταλήγουμε στη σχέση

\[ \frac{ZQ}{QX}\cdot \frac{XP}{PY}\cdot \frac{YR}{RZ}=-1. \]

Από το αντίστροφο του Θεωρήματος του Μενελάου συμπεραίνουμε αμέσως ότι

\[ \boxed{P,Q,R\ \text{είναι συνευθειακά}.} \]

💡 Ακόμη πιο γενικά: το Θεώρημα του Pascal δεν περιορίζεται στον κύκλο. Ισχύει για έξι σημεία πάνω σε οποιαδήποτε μη εκφυλισμένη κωνική.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →