📘 Η Ανισότητα του Popoviciu για Κυρτές Συναρτήσεις

Μία από τις πιο κομψές ανισότητες που συνδέονται με την κυρτότητα είναι η ανισότητα του Popoviciu.

Έστω \[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \] κυρτή συνάρτηση και \(x,y,z\in[a,b]\). Τότε

\[ \boxed{ f\!\left(\frac{x+y+z}{3}\right) +\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3} \ge \frac{2}{3} \left[ f\!\left(\frac{x+y}{2}\right) + f\!\left(\frac{y+z}{2}\right) + f\!\left(\frac{z+x}{2}\right) \right] } \]

✏️ Απόδειξη

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι

\[ x\le y\le z. \]

Τότε

\[ \frac{x+y+z}{3} \le \frac{x+z}{2} \le z, \]

οπότε υπάρχουν \(s,t\in[0,1]\) τέτοια ώστε

\[ \frac{x+z}{2} = s\frac{x+y+z}{3}+(1-s)z \]

και

\[ \frac{y+z}{2} = t\frac{x+y+z}{3}+(1-t)z. \]

Από τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει

\[ s+t=\frac{3}{2}. \]

Επειδή η \(f\) είναι κυρτή,

\[ f\!\left(\frac{x+z}{2}\right) \le s\,f\!\left(\frac{x+y+z}{3}\right) +(1-s)f(z), \] \[ f\!\left(\frac{y+z}{2}\right) \le t\,f\!\left(\frac{x+y+z}{3}\right) +(1-t)f(z). \]

Επίσης, από την κυρτότητα,

\[ f\!\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}. \]

Προσθέτοντας τις τρεις ανισότητες και χρησιμοποιώντας ότι \[ s+t=\frac32, \] παίρνουμε ακριβώς

\[ f\!\left(\frac{x+y+z}{3}\right) +\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3} \ge \frac{2}{3} \left[ f\!\left(\frac{x+y}{2}\right) + f\!\left(\frac{y+z}{2}\right) + f\!\left(\frac{z+x}{2}\right) \right]. \]

🔎 Τι εκφράζει η ανισότητα;

Η ανισότητα του Popoviciu συγκρίνει την τιμή μιας κυρτής συνάρτησης στο κέντρο βάρους των \(x,y,z\) και στα ίδια τα σημεία, με τις τιμές της στα τρία μέσα των ζευγών τους. Είναι μια ιδιαίτερα κομψή συνέπεια της γεωμετρικής ιδέας της κυρτότητας.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →