🍀 Το Πολικό Τριφύλλι r = cos(3α) — Πόσο είναι το Εμβαδόν Κάθε Φύλλου;

Στις πολικές συντεταγμένες ένα σημείο περιγράφεται από την ακτίνα \(r\) και τη γωνία \(\alpha\). Και οι δύο ποσότητες μπορούν να πάρουν, ανάλογα με την περίπτωση, θετικές, μηδενικές ή αρνητικές τιμές.

Ας εξετάσουμε τώρα την όμορφη πολική καμπύλη

\[ r=\cos(3\alpha). \]

Η γραφική της παράσταση σχηματίζει ένα συμμετρικό τριφύλλι με τρία όμοια φύλλα.

🎯 Πρόβλημα

Να υπολογίσετε το εμβαδόν καθενός από τα τρία φύλλα του πολικού τριφυλλιού.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Για μια πολική καμπύλη \(r=f(\alpha)\), το εμβαδόν που διαγράφεται καθώς η γωνία μεταβάλλεται από \(\alpha_1\) έως \(\alpha_2\) δίνεται από

\[ E=\frac12\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}r^2\,d\alpha. \]

Βρείτε πρώτα τις δύο διαδοχικές τιμές της \(\alpha\) για τις οποίες

\[ \cos(3\alpha)=0 \]

και οι οποίες περικλείουν ένα μόνο φύλλο. Έπειτα η συμμετρία κάνει τον υπολογισμό ιδιαίτερα απλό.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →