🪙 Το παράδοξο του νομίσματος — Το πρόβλημα του SAT που είχε λάθος απάντηση

Το 1982, ένα πρόβλημα του Scholastic Aptitude Test (SAT) παρουσίαζε δύο εφαπτόμενους κύκλους. Η ακτίνα του μικρού κύκλου \(A\) ήταν το ένα τρίτο της ακτίνας του μεγαλύτερου κύκλου \(B\).

Ο κύκλος \(A\) κυλά χωρίς ολίσθηση γύρω από τον \(B\). Το ερώτημα ήταν:

❓ Πόσες πλήρεις περιστροφές θα κάνει ο μικρός κύκλος μέχρι το κέντρο του να επιστρέψει στην αρχική του θέση;

Η αναμενόμενη απάντηση του τεστ ήταν 3. Τρεις μαθητές, όμως, επισήμαναν ότι η σωστή απάντηση είναι

\[ \boxed{4}. \]

🔍 Πού κρύβεται η επιπλέον περιστροφή;

Η πρώτη σκέψη φαίνεται απολύτως λογική. Αν η μεγάλη ακτίνα είναι \(R=3r\), τότε

\[ \frac{2\pi R}{2\pi r}=\frac{R}{r}=3. \]

Άρα θα περίμενε κανείς τρεις περιστροφές. Αυτό θα ήταν σωστό αν ο μικρός κύκλος κυλούσε πάνω σε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους \(2\pi R\).

Όμως εδώ το κέντρο του μικρού κύκλου κινείται και το ίδιο γύρω από το κέντρο του μεγάλου. Αυτή η περιφορά προσθέτει μία ακόμη πλήρη περιστροφή.

Γενικά, όταν ένας κύκλος ακτίνας \(r\) κυλά εξωτερικά χωρίς ολίσθηση γύρω από έναν σταθερό κύκλο ακτίνας \(R\), ο αριθμός των περιστροφών του είναι

\[ N=\frac{R+r}{r} =\frac{R}{r}+1. \]

Εδώ \(R=3r\), οπότε

\[ N=\frac{3r+r}{r}=4. \]

Το φαινόμενο είναι γνωστό ως coin rotation paradox: η «χαμένη» περιστροφή εμφανίζεται επειδή το νόμισμα δεν κινείται σε ευθεία, αλλά περιφέρεται γύρω από έναν άλλο κύκλο.

💡 Ακόμη πιο εντυπωσιακό:

Αν δύο ίσα νομίσματα ακτίνας \(r\) εφάπτονται και το ένα κυλήσει μία φορά γύρω από το άλλο, τότε \[ N=\frac{r+r}{r}=2. \] Το κινούμενο νόμισμα κάνει δύο πλήρεις περιστροφές, όχι μία.

Ένα εξαιρετικό παράδειγμα του πόσο εύκολα μια σωστή φαινομενικά διαίρεση περιφερειών μπορεί να οδηγήσει σε λάθος αποτέλεσμα.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →