Για πολλά χρόνια, ένας από τους μεγαλύτερους αριθμούς που είχαν εμφανιστεί σε σοβαρή μαθηματική απόδειξη ήταν ο περίφημος αριθμός του Skewes.
Η ιστορία του ξεκινά από μια απλή αλλά βαθιά ερώτηση για τους πρώτους αριθμούς.
Οι δύο συναρτήσεις
Ας γράψουμε
\[ \pi(x) \]για το πλήθος των πρώτων αριθμών που δεν ξεπερνούν το \(x\), και
\[ \operatorname{li}(x) \]για τη λογαριθμική ολοκληρωτική συνάρτηση, η οποία προσεγγίζει πολύ καλά την κατανομή των πρώτων.
Για τεράστιες περιοχές τιμών φαίνεται να ισχύει
\[ \pi(x)<\operatorname{li}(x). \]Όμως ο Littlewood απέδειξε ότι η διαφορά
\[ \pi(x)-\operatorname{li}(x) \]αλλάζει πρόσημο άπειρες φορές. Άρα κάποια στιγμή πρέπει να ισχύσει
\[ \pi(x)>\operatorname{li}(x). \]Το τεράστιο φράγμα του 1933
Το 1933 ο Stanley Skewes έδειξε, υποθέτοντας ότι η Υπόθεση Riemann είναι σωστή, ότι μια τέτοια αλλαγή πρέπει να έχει συμβεί πριν από έναν αριθμό μικρότερο από
\[ e^{e^{e^{79}}}. \]Για να πάρουμε μια αίσθηση μεγέθους,
\[ e^{e^{e^{79}}} < 10^{10^{10^{34}}}. \]Ένας αριθμός τόσο μεγάλος, ώστε ακόμη και η περιγραφή του απαιτεί πύργο εκθετών.
Όμως αυτό δεν είναι η πραγματική τιμή
Εδώ χρειάζεται προσοχή. Ο αριθμός του Skewes δεν ήταν η ακριβής τιμή όπου αλλάζει για πρώτη φορά το πρόσημο. Ήταν ένα άνω φράγμα.
Δηλαδή ο Skewes απέδειξε ότι η πρώτη αλλαγή θα πρέπει να συμβεί πριν από εκεί.
Στις επόμενες δεκαετίες το φράγμα μειώθηκε θεαματικά. Το 1966 ο Lehman το κατέβασε περίπου στην περιοχή του
\[ 10^{1165}, \]και το 1987 ο te Riele περίπου στο
\[ 8{,}185\times10^{370}. \]Νεότερες εργασίες έφεραν το σχετικό άνω φράγμα περίπου στην περιοχή
\[ 1{,}4\times10^{316}. \]Η ακριβής πρώτη τιμή, όμως, δεν είναι γνωστή. :chatgpt-content-reference{index="1"}
Ο «δεύτερος αριθμός του Skewes»
Ο Skewes έδωσε αργότερα και ένα ακόμη τεράστιο φράγμα χωρίς να υποθέσει την αλήθεια της Υπόθεσης Riemann. Αυτό το δεύτερο ιστορικό φράγμα ήταν της τάξης
\[ e^{e^{e^{e^{7.705}}}} < 10^{10^{10^{964}}}. \]Σε ορισμένες παλιότερες πηγές αυτά ονομάζονται «πρώτος» και «δεύτερος αριθμός του Skewes».
Γιατί έμεινε στην ιστορία;
Ο G. H. Hardy είχε χαρακτηρίσει τον αριθμό του Skewes ως έναν από τους μεγαλύτερους αριθμούς που είχαν εμφανιστεί μέχρι τότε για πραγματικό μαθηματικό σκοπό.
Και αυτό είναι το πιο ενδιαφέρον στοιχείο: δεν δημιουργήθηκε για εντυπωσιασμό. Δεν ήταν ένα παιχνίδι με τεράστιους αριθμούς.
Εμφανίστηκε επειδή ένα σοβαρό πρόβλημα της θεωρίας αριθμών το απαιτούσε.
Είναι εντυπωσιακός επειδή γεννήθηκε φυσικά μέσα σε μια απόδειξη για τους πρώτους αριθμούς.
Πηγές: Stanley Skewes, On the Difference π(x) − li(x) · MathWorld, Skewes Number · MacTutor History of Mathematics.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου