🔢 Square It! — Πώς το τετράγωνο και η Cauchy–Schwarz ξεκλειδώνουν ανισότητες με ρίζες

Ανισότητες της μορφής

\[ \sqrt A+\sqrt B+\sqrt C+\sqrt D\le k \]

αντιμετωπίζονται συχνά με την ανισότητα Cauchy–Schwarz. Όταν όμως τα πρόσημα αλλάζουν και εμφανίζονται εκφράσεις όπως

\[ \sqrt A+\sqrt B-\sqrt C+\sqrt D\ge k, \]

η εφαρμογή της δεν είναι πλέον τόσο άμεση.

Μια χρήσιμη στρατηγική είναι εξαιρετικά απλή ως ιδέα:

Υψώνουμε πρώτα την ανισότητα στο τετράγωνο.

🧩 Ένα χαρακτηριστικό πρόβλημα

Έστω \(x,y,z\ge0\) με

\[ x^2+y^2+z^2=1. \]

Να αποδειχθεί ότι

\[ \boxed{ \sqrt{1-\left(\frac{x+y}{2}\right)^2} + \sqrt{1-\left(\frac{y+z}{2}\right)^2} + \sqrt{1-\left(\frac{z+x}{2}\right)^2} \ge\sqrt6 }. \]

✏️ Γιατί να τετραγωνίσουμε;

Επειδή όλα τα μέλη είναι μη αρνητικά, μπορούμε να τετραγωνίσουμε. Τότε εμφανίζονται γινόμενα της μορφής

\[ \sqrt{1-\left(\frac{x+y}{2}\right)^2} \sqrt{1-\left(\frac{y+z}{2}\right)^2}. \]

Και εδώ βρίσκεται το ουσιαστικό βήμα.

Από τη συνθήκη

\[ x^2+y^2+z^2=1 \]

έχουμε

\[ 1-\left(\frac{x+y}{2}\right)^2 = \frac{(x-y)^2}{4}+\frac{z^2+1}{2}. \]

Ανάλογα,

\[ 1-\left(\frac{y+z}{2}\right)^2 = \frac{(y-z)^2}{4}+\frac{x^2+1}{2}. \]

✨ Η Cauchy–Schwarz εμφανίζεται τώρα φυσικά

Η προηγούμενη γραφή επιτρέπει να εφαρμόσουμε την Cauchy–Schwarz στη μορφή

\[ \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2} \ge ac+bd. \]

Έτσι αποκτούμε κατάλληλο κάτω φράγμα για κάθε γινόμενο δύο ριζών. Επαναλαμβάνουμε κυκλικά για τα ζεύγη

\[ (x,y,z),\qquad(y,z,x),\qquad(z,x,y). \]

Όταν οι τρεις εκτιμήσεις προστεθούν, οι όροι οργανώνονται έτσι ώστε η συνθήκη

\[ x^2+y^2+z^2=1 \]

να απλοποιήσει δραστικά το αποτέλεσμα.

💡 Η τεχνική

Όταν μια ανισότητα με πολλές τετραγωνικές ρίζες δεν ανταποκρίνεται σε μια άμεση εφαρμογή της Cauchy–Schwarz, αξίζει να εξετάσουμε τι συμβαίνει μετά τον τετραγωνισμό. Τα νέα γινόμενα ριζών μπορεί να έχουν πολύ καλύτερη αλγεβρική δομή από την αρχική παράσταση.

🎯 Το μάθημα πίσω από το παράδειγμα

Η εντολή «τετραγώνισε» δεν αποτελεί από μόνη της απόδειξη. Το σημαντικό είναι ότι ο τετραγωνισμός δημιουργεί μια νέα μορφή στην οποία μπορούμε να αναγνωρίσουμε γνωστές ανισότητες.

\[ \text{ρίζες} \;\longrightarrow\; \text{τετραγωνισμός} \;\longrightarrow\; \text{γινόμενα} \;\longrightarrow\; \text{Cauchy–Schwarz}. \]

Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα του πώς μια απλή μεταμόρφωση μπορεί να αποκαλύψει τη δομή που ήταν κρυμμένη στην αρχική ανισότητα.

🔢 Μερικές φορές, για να ξεκλειδώσεις μια ρίζα, πρέπει απλώς να την… τετραγωνίσεις.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →