📐 Η χρυσή τομή κρυμμένη σε ένα ημικύκλιο — Απόδειξη ότι tan(β)=φ

Σε ένα ημικύκλιο με κέντρο \(O\) εγγράφεται τετράγωνο, όπως στο σχήμα. Αν \(\beta\) είναι η γωνία που σχηματίζεται στην επάνω δεξιά κορυφή ανάμεσα στην ακτίνα προς το \(O\) και στο τμήμα προς το δεξί άκρο της διαμέτρου, να αποδειχθεί ότι

\[ \boxed{\tan\beta=\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}}, \]

όπου \(\varphi\) είναι η περίφημη χρυσή τομή.

🔍 Απόδειξη

Επειδή το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από το μέγεθος του σχήματος, θεωρούμε ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι \(2\).

Λόγω συμμετρίας, αν το κέντρο του ημικυκλίου είναι

\[ O=(0,0), \]

η επάνω δεξιά κορυφή \(P\) του τετραγώνου έχει συντεταγμένες

\[ P=(1,2). \]

Εφόσον το \(P\) βρίσκεται πάνω στο ημικύκλιο, η ακτίνα του είναι

\[ R=OP=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5. \]

Άρα το δεξί άκρο \(D\) της διαμέτρου είναι

\[ D=(\sqrt5,0). \]

Θέλουμε τη γωνία

\[ \beta=\angle OPD. \]

Οι δύο πλευρές της γωνίας έχουν διανύσματα

\[ \overrightarrow{PO}=(-1,-2) \]

και

\[ \overrightarrow{PD}=(\sqrt5-1,-2). \]

Για τη γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων ισχύει

\[ \tan\beta= \frac{\left|\det(\overrightarrow{PO},\overrightarrow{PD})\right|} {\overrightarrow{PO}\cdot\overrightarrow{PD}}. \]

Υπολογίζουμε:

\[ \left|\det(\overrightarrow{PO},\overrightarrow{PD})\right| =2\sqrt5 \]

και

\[ \overrightarrow{PO}\cdot\overrightarrow{PD} =5-\sqrt5. \]

Επομένως

\[ \tan\beta = \frac{2\sqrt5}{5-\sqrt5}. \]

Ρητοποιώντας τον παρονομαστή:

\[ \tan\beta = \frac{2\sqrt5(5+\sqrt5)} {(5-\sqrt5)(5+\sqrt5)} = \frac{10\sqrt5+10}{20}. \]

Άρα

\[ \boxed{\tan\beta=\frac{1+\sqrt5}{2}}. \]

Δηλαδή

\[ \boxed{\tan\beta=\varphi}. \]

✨ Η έκπληξη

Η εμφάνιση της χρυσής τομής δεν είναι τυχαία: το ορθογώνιο τρίγωνο που δημιουργείται από το μισό της πλευράς του τετραγώνου και ολόκληρη την πλευρά του έχει αναλογία \(1:2:\sqrt5\). Το \(\sqrt5\) είναι ακριβώς ο αριθμός από τον οποίο γεννιέται η χρυσή τομή.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →