Το θεώρημα του Thébault: τέσσερα τετράγωνα κρύβουν ένα πέμπτο!

Πάρε ένα οποιοδήποτε παραλληλόγραμμο. Στις τέσσερις πλευρές του κατασκεύασε τέσσερα τετράγωνα προς τα έξω. Σημείωσε τα κέντρα τους και ένωσέ τα διαδοχικά. Τι σχήμα προκύπτει;

Το θεώρημα του Thébault
Τα κέντρα των τετραγώνων που κατασκευάζονται εξωτερικά στις πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι κορυφές ενός νέου τετραγώνου.

Το αποτέλεσμα συνδέεται με τον Γάλλο μαθηματικό Victor Thébault. Το αρχικό παραλληλόγραμμο μπορεί να είναι στενό, πλατύ ή πολύ λοξό. Το τετράγωνο των κέντρων εξακολουθεί να υπάρχει!

Κατασκεύασέ το και δοκίμασέ το

Ακολούθησε τα τέσσερα βήματα. Έπειτα σύρε τις κορυφές Β, C ή D ή χρησιμοποίησε τους ρυθμιστές. Το Α παραμένει σταθερό και το ABCD διατηρείται πάντοτε παραλληλόγραμμο.

Βάση AB: 3,2 Ύψος: 2 Οριζόντια μετατόπιση του D: 0,9

Εμφάνιση εξωτερικών τετραγώνων

Μονάδες μήκους: αυθαίρετες. Οι ενδείξεις στρογγυλοποιούνται. Η σχεδίαση προσαρμόζει την κλίμακα ώστε να χωρά ολόκληρη η κατασκευή. Οι ρυθμιστές αποτελούν εναλλακτική στο σύρσιμο.

Τι αξίζει να παρατηρήσεις;

Τα τέσσερα εξωτερικά τετράγωνα δεν χρειάζεται να είναι όλα ίσα. Καθένα έχει ως πλευρά του μια πλευρά του παραλληλογράμμου, οπότε είναι ίσα ανά δύο. Παρ’ όλα αυτά, τα κέντρα τους σχηματίζουν ένα τετράγωνο με τέσσερις ίσες πλευρές και τέσσερις ορθές γωνίες.

Μικρή πρόκληση: κάνε το παραλληλόγραμμο πολύ λοξό. Μπορείς να «χαλάσεις» το τετράγωνο EFGH; Έπειτα κρύψε τα εξωτερικά τετράγωνα για να δεις καθαρότερα το σχήμα των κέντρων.

Γιατί ισχύει; Μια απόδειξη με συντεταγμένες

Τοποθετούμε τις κορυφές του παραλληλογράμμου στις θέσεις:

A = (0, 0),   B = (b, 0),
D = (s, h),   C = (b + s, h),   με b > 0 και h > 0.

Έστω E, F, G, H τα κέντρα των εξωτερικών τετραγώνων στις πλευρές AB, BC, CD, DA αντίστοιχα. Από τα μέσα των πλευρών και τις κάθετες μετατοπίσεις κατά μισή πλευρά, βρίσκουμε:

E = (b/2, −b/2)
F = (b + (s + h)/2, (h − s)/2)
G = (b/2 + s, h + b/2)
H = ((s − h)/2, (h + s)/2)

Αν θέσουμε:

u = (b + s + h)/2,
v = (b + h − s)/2,

τα διανύσματα δύο διαδοχικών πλευρών είναι:

EF = (u, v),
FG = (−v, u).

Άρα έχουν το ίδιο μήκος, αφού και τα δύο έχουν τετράγωνο μήκους u² + v², και είναι κάθετα, αφού το εσωτερικό τους γινόμενο είναι:

u(−v) + vu = 0.

Επιπλέον, τα μέσα των EG και FH συμπίπτουν με το κέντρο του αρχικού παραλληλογράμμου. Επομένως το EFGH είναι παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες και κάθετες: είναι τετράγωνο.

Η μεταβολή του σχήματος βοηθά να ανακαλύψουμε και να κατανοήσουμε το αποτέλεσμα. Η γενική ισχύς του, όμως, εξασφαλίζεται από την απόδειξη.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →