♾️ Η Καμπύλη του Viviani — Όταν μια σφαίρα και ένας κύλινδρος δημιουργούν ένα «8»

Μια σφαίρα και ένας κύλινδρος είναι δύο από τις απλούστερες επιφάνειες της Γεωμετρίας. Όταν όμως τοποθετηθούν με έναν πολύ συγκεκριμένο τρόπο, η τομή τους δημιουργεί μια εντυπωσιακή χωρική καμπύλη: την καμπύλη του Viviani.

Η καμπύλη πήρε το όνομά της από τον Ιταλό μαθηματικό Vincenzo Viviani (1622–1703), μαθητή και συνεργάτη του Galileo.

🔵 Η γεωμετρική κατασκευή

Θεωρούμε σφαίρα με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα \(2a\):

\[ \boxed{x^2+y^2+z^2=4a^2}. \]

Τώρα θεωρούμε έναν κύλινδρο ακτίνας \(a\), με άξονα παράλληλο στον άξονα \(z\):

\[ \boxed{(x-a)^2+y^2=a^2}. \]

Ο άξονας του κυλίνδρου απέχει \(a\) από το κέντρο της σφαίρας. Επειδή η ακτίνα του κυλίνδρου είναι επίσης \(a\), η επιφάνειά του περνά από το κέντρο της σφαίρας και εφάπτεται εσωτερικά στη σφαίρα.

Η κοινή καμπύλη των δύο επιφανειών είναι η καμπύλη του Viviani.

📐 Τρεις προβολές — τρεις διαφορετικές καμπύλες

Ένα από τα ομορφότερα χαρακτηριστικά της είναι ότι οι τρεις ορθογώνιες προβολές της στα επίπεδα συντεταγμένων έχουν εντελώς διαφορετική μορφή.

1. Προβολή στο επίπεδο \(xy\)

Η εξίσωση του κυλίνδρου δίνει αμέσως

\[ \boxed{(x-a)^2+y^2=a^2}. \]

Άρα η προβολή στο \(xy\) είναι ένας κύκλος ακτίνας \(a\) με κέντρο \((a,0)\).

2. Προβολή στο επίπεδο \(xz\)

Από την εξίσωση του κυλίνδρου έχουμε

\[ x^2+y^2=2ax. \]

Σε συνδυασμό με την εξίσωση της σφαίρας προκύπτει

\[ \boxed{z^2=4a^2-2ax}. \]

Η προβολή στο \(xz\) είναι επομένως τμήμα μιας παραβολής.

3. Προβολή στο επίπεδο \(yz\)

Απαλείφοντας το \(x\), βρίσκουμε

\[ \boxed{ y^2=z^2-\frac{z^4}{4a^2} }. \]

Και αυτή είναι ίσως η πιο αναγνωρίσιμη προβολή της: μια καμπύλη με σχήμα «8».

✨ Η ίδια χωρική καμπύλη μάς δίνει:

κύκλο στο \(xy\),
παραβολή στο \(xz\),
και ένα «8» στο \(yz\).

🧮 Μια παραμετρική περιγραφή

Από την εξίσωση του κυλίνδρου μπορούμε να θέσουμε

\[ x=a(1+\cos t),\qquad y=a\sin t. \]

Τότε

\[ x^2+y^2=2a^2(1+\cos t) =4a^2\cos^2\frac{t}{2}. \]

Από την εξίσωση της σφαίρας ακολουθεί

\[ z^2=4a^2\sin^2\frac{t}{2}. \]

Έτσι ένας κλάδος μπορεί να γραφτεί ως

\[ \boxed{ \begin{aligned} x&=a(1+\cos t),\\ y&=a\sin t,\\ z&=2a\sin\frac{t}{2}. \end{aligned}} \]

👨‍🏫 Ποιος ήταν ο Viviani;

Ο Vincenzo Viviani γεννήθηκε στη Φλωρεντία το 1622. Σε νεαρή ηλικία συνδέθηκε με τον Galileo και υπήρξε ένας από τους τελευταίους μαθητές και συνεργάτες του.

Το όνομά του έμεινε στην ιστορία της Γεωμετρίας και μέσα από αυτή την ιδιαίτερη καμπύλη, η οποία αποτελεί ένα εξαιρετικό παράδειγμα του πόσο απροσδόκητη μπορεί να γίνει η γεωμετρία όταν περάσουμε από το επίπεδο στον τρισδιάστατο χώρο.

♾️ Μία σφαίρα + ένας κύλινδρος = μία καμπύλη.

Και όμως, ανάλογα με την κατεύθυνση από την οποία την κοιτάζουμε,
βλέπουμε έναν κύκλο, μια παραβολή ή ένα «8».

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →