Το 1878 ο W. A. Whitworth διατύπωσε ένα κομψό πρόβλημα πιθανοτήτων.
Σε μια εκλογή μεταξύ δύο υποψηφίων, ο \(A\) παίρνει \(m\) ψήφους και ο \(B\) παίρνει \(n\), με
\[ m>n. \]
Τα ψηφοδέλτια καταμετρώνται ένα προς ένα και σε τυχαία σειρά. Ποια είναι η πιθανότητα ο \(A\) να προηγείται αυστηρά σε κάθε στάδιο της καταμέτρησης;
📐 Η γεωμετρική ιδέα
Η καταμέτρηση μπορεί να μετατραπεί σε ένα μονοπάτι πάνω σε πλέγμα. Ξεκινάμε από το \(O=(0,0)\):
κάθε ψήφος του \(A\) μας μετακινεί μία μονάδα προς τα δεξιά, ενώ κάθε ψήφος του \(B\) μία μονάδα προς τα πάνω. Μετά την καταμέτρηση όλων των ψήφων φτάνουμε στο
\[ E=(m,n). \]
Η διαγώνιος \(OD\) αντιπροσωπεύει τις στιγμές στις οποίες οι δύο υποψήφιοι είναι ισόπαλοι. Επομένως, για να προηγείται συνεχώς ο \(A\), το μονοπάτι δεν πρέπει να αγγίξει αυτή τη διαγώνιο μετά την εκκίνηση.
🪞 Το τέχνασμα της ανάκλασης
Στην κομψή απόδειξη που παρουσίασε ο Howard Grossman το 1946, εξετάζονται τα μονοπάτια που συναντούν τη διαγώνιο για πρώτη φορά σε κάποιο σημείο \(C\).
Το τμήμα ενός τέτοιου μονοπατιού μέχρι το \(C\) μπορεί να ανακλαστεί ως προς τη διαγώνιο. Έτσι τα «κακά» μονοπάτια αντιστοιχίζονται ανά δύο, όπως τα μονοπάτια \(p\) και \(q\) του σχήματος.
Η αναλογία των μονοπατιών που ξεκινούν με βήμα προς τα πάνω είναι
\[ \frac{n}{m+n}. \]
Με το επιχείρημα της ανάκλασης, η πιθανότητα να αγγίξει το μονοπάτι τη γραμμή της ισοπαλίας είναι
\[ \frac{2n}{m+n}. \]
Άρα η συμπληρωματική πιθανότητα είναι
\[ 1-\frac{2n}{m+n} = \boxed{\frac{m-n}{m+n}}. \]
Αν ο \(A\) πάρει διπλάσιες ψήφους από τον \(B\), δηλαδή \(m=2n\), τότε \[ P=\frac{2n-n}{2n+n}=\frac13. \] Παρότι λοιπόν ο \(A\) κερδίζει με αναλογία ψήφων \(2:1\), η πιθανότητα να βρίσκεται μπροστά σε ολόκληρη την καταμέτρηση είναι μόλις \(1/3\).
Ένα όμορφο παράδειγμα του πώς ένα πρόβλημα πιθανοτήτων μετατρέπεται σε πρόβλημα γεωμετρίας, συνδυαστικής και συμμετρίας.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου