Το καμπύλο τρίγωνο του Withers: μια διαδραστική εξερεύνηση με μιγαδικούς

Μπορεί ένας απλός κανόνας να κρύβει ένα ολόκληρο γεωμετρικό τοπίο; Ξεκινάμε από έναν μιγαδικό αριθμό, υπολογίζουμε τον επόμενο και επαναλαμβάνουμε. Τα διαδοχικά σημεία σχηματίζουν την τροχιά του αρχικού αριθμού.

                                                                            z_n+1 = z_n² − 2z_n

Η γραμμή πάνω από το z δηλώνει τον συζυγή του: αν z = x + iy, τότε ο συζυγής είναι x − iy. Η απεικόνιση συνδέεται με τις εργασίες του William Douglas Withers για τα «πολυώνυμα αναδίπλωσης».

Το εντυπωσιακό σχήμα που τη συνοδεύει ονομάζεται δελτοειδής: μια καμπύλη με τρεις αιχμές, που θυμίζει τρίγωνο με καμπύλες πλευρές.

Διάλεξε σημείο και δες τι συμβαίνει

Πάτησε οπουδήποτε στο διάγραμμα ή γράψε τις συντεταγμένες σου. Δοκίμασε το «Τυχαίο εσωτερικό» και μετά το «Εκτός περιοχής». Θα έχουν την ίδια τύχη;

Πραγματικό μέρος x Φανταστικό μέρος y

Βήματα ανά δευτερόλεπτο: 12 Σύνδεση σημείων

Για την εφαρμογή χρειάζεται πρόγραμμα περιήγησης με υποστήριξη canvas.

● Αρχικό σημείο: μαύρο ● Ίχνος: τιρκουάζ ● Τρέχον σημείο: κοραλλί

Οι γραμμές, όταν επιλεγούν, ενώνουν διαδοχικές τιμές· δεν παριστάνουν συνεχή κίνηση. Εμφανίζονται έως 2.500 σημεία. Οι υπολογισμοί έχουν πεπερασμένη αριθμητική ακρίβεια.

Τι παρατηρούμε;

Η δελτοειδής μαζί με το εσωτερικό της αποτελεί μια αναλλοίωτη περιοχή: σε ακριβή αριθμητική, ο κανόνας στέλνει κάθε σημείο της πάλι μέσα στην ίδια περιοχή.

Αυτό δεν σημαίνει ότι κάθε τροχιά πλησιάζει το περίγραμμα ή γεμίζει όλο το σχήμα. Για παράδειγμα, το 0 μένει πάντα στο 0. Δοκίμασέ το με το αντίστοιχο κουμπί!

Υπάρχουν και σημεία που διαφεύγουν. Αν σε κάποιο βήμα το μέτρο του z γίνει μεγαλύτερο από 3, η τροχιά οδηγείται στο άπειρο. Για παράδειγμα, το z = 3,2 γίνεται ήδη στο πρώτο βήμα 3,84 και στη συνέχεια αυξάνεται γρήγορα.

Λίγα μαθηματικά πίσω από το σχήμα

Γράφοντας z = x + iy, ο κανόνας μετατρέπεται σε δύο πραγματικές εξισώσεις:

x_n+1 = x_n² − y_n² − 2x_n
y_n+1 = 2x_ny_n + 2y_n

Το περίγραμμα σχεδιάζεται παραμετρικά, για 0 ≤ t ≤ 2π:

x(t) = 2 cos t + cos 2t
y(t) = 2 sin t − sin 2t

Οι τρεις αιχμές είναι τα σημεία:

(3, 0), (−3/2, 3√3/2), (−3/2, −3√3/2)

Για να καταλάβουμε τη διατήρηση της περιοχής, γράφουμε ένα σημείο της ως z = u + v + w, όπου |u| = |v| = |w| = 1 και uvw = 1. Τότε uv + uw + vw = z, οπότε:

z² − 2z = u² + v² + w²

Ο νέος αριθμός έχει την ίδια μορφή. Στο περίγραμμα μπορούμε να πάρουμε u = v = e^it και w = e^−2it.

Τέλος, η αντίστροφη τριγωνική ανισότητα δίνει:

|z² − 2z| ≥ |z|² − 2|z|

Για |z| > 3, το νέο μέτρο είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο και η επανάληψη οδηγεί σε απεριόριστη αύξηση.

Μια απαραίτητη διευκρίνιση: η διατύπωση ότι «οποιαδήποτε αρχική τιμή καταλήγει στο σχήμα» δεν ισχύει γενικά. Η εφαρμογή δείχνει τόσο τροχιές μέσα στην περιοχή όσο και παραδείγματα διαφυγής.

Πηγές: W. D. Withers, Folding Polynomials and Their Dynamics , The American Mathematical Monthly 95(5), 1988, 399–407. Σχετικό μαθηματικό πλαίσιο: J. P. Bowman, Geometry and Algebra of the Deltoid Map , με συγγενή απεικόνιση σε δύο μιγαδικές συντεταγμένες.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →