Οι \(x,y,z\) είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και ικανοποιούν το σύστημα
\[
\begin{aligned}
x&=\sqrt{11-2yz},\\
y&=\sqrt{12-2xz},\\
z&=\sqrt{13-2xy}.
\end{aligned}
\]
❓ Ποια είναι η τιμή του \(x+y+z\);
💡 Εμφάνιση υπόδειξης
Υψώστε στο τετράγωνο και τις τρεις εξισώσεις και στη συνέχεια προσθέστε τις κατά μέλη.
Μην προσπαθήσετε να βρείτε χωριστά τα \(x\), \(y\) και \(z\). Παρατηρήστε ποια γνωστή ταυτότητα εμφανίζεται όταν συγκεντρώσετε τους όρους
\[ x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz. \]Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
Η τιμή του (x + y + z) είναι 6.
ΑπάντησηΔιαγραφή1. Ύψωση στο τετράγωνο:
Υψώνουμε και τις τρεις εξισώσεις του συστήματος στο τετράγωνο για να απαλείψουμε τις ρίζες:
• x^2=11-2yz === x^2+2yz=11
• y^2=12-2xz === y^2+2xz=12
• z^2=13-2xy === z^2+2xy=13
2. Πρόσθεση των εξισώσεων κατά μέλη:
Προσθέτοντας τις τρεις παραπάνω εξισώσεις, έχουμε:
(x^2+2yz)+(y^2+2xz)+(z^2+2xy)=11+12+13 === (x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=36
3. Ανάπτυγμα Ταυτότητας:
Το αριστερό μέλος της εξίσωσης είναι η γνωστή ταυτότητα του τετραγώνου τριωνύμου:
(x+y+z)^2=36
4. Τελικό Αποτέλεσμα:
Επειδή οι αριθμοί (x, y, z) αναφέρονται στην εκφώνηση ως θετικοί πραγματικοί αριθμοί, το άθροισμά τους (x + y + z) πρέπει επίσης να είναι θετικός αριθμός. Επομένως:
sqrt[(x+y+z)^2]=sqrt[36] === x+y+z=6