📈 Η Εκθετική y=eˣ — Όταν η Κλίση Είναι Ίση με το Ύψος

Η εκθετική συνάρτηση

\[ f(x)=e^x \]

έχει μια από τις πιο χαρακτηριστικές ιδιότητες του Απειροστικού Λογισμού: η παράγωγός της είναι η ίδια η συνάρτηση.

\[ f'(x)=e^x=f(x). \]

Αυτό έχει μια πολύ όμορφη γεωμετρική ερμηνεία. Σε οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης, η κλίση της εφαπτομένης είναι αριθμητικά ίση με την τεταγμένη του σημείου.

🔎 Κοιτάξτε το σχήμα

Αν το σημείο επαφής έχει ύψος \(a\), γιατί το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από την εφαπτομένη μπορεί να έχει κάθετες πλευρές \(a\) και \(1\);

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Στο σημείο όπου \(f(x)=a\), έχουμε ταυτόχρονα

\[ f'(x)=a. \]

Αλλά η παράγωγος είναι η κλίση της εφαπτομένης. Αν λοιπόν \(\theta\) είναι η γωνία της με τον οριζόντιο άξονα,

\[ \tan\theta=a. \]

Τώρα συγκρίνετε αυτή τη σχέση με τον λόγο των δύο καθέτων πλευρών του τριγώνου στο σχήμα.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →