Την Παρασκευή 6 Νοεμβρίου 2026 πραγματοποιήθηκε ο μαθηματικός διαγωνισμός «Μικρός Θαλής» για τους μαθητές της Α΄ Γυμνασίου, από το Παράρτημα Κεντρικής Μακεδονίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.
Τα θέματα περιλαμβάνουν ασκήσεις Αριθμητικής, Γεωμετρίας και προβλήματα μαθηματικής σκέψης, προσφέροντας στους μαθητές μια ευκαιρία να δοκιμάσουν τις γνώσεις και την ευρηματικότητά τους.
Το αρχείο ανοίγει στο Google Drive.
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
Πρόβλημα με τις δεξαμενές.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια να λύσουμε το πρόβλημα, θα υπολογίσουμε το μέρος της δεξαμενής που γεμίζει κάθε βρύση (ή συνδυασμός βρυσών) σε 1 ώρα.
Έστω ότι η βρύση Α γεμίζει τη δεξαμενή μόνη της σε (x) ώρες, η Β σε (y) ώρες και η Γ σε (z) ώρες.
Σε 1 ώρα:
Η Α γεμίζει το 1/x της δεξαμενής.
Η Β γεμίζει το 1/y της δεξαμενής.
Η Γ γεμίζει το 1/z της δεξαμενής.
Μετατροπή των δεδομένων σε κλάσματα ανά ώρα:
1. Α και Β μαζί: Γεμίζουν τη δεξαμενή σε 6 ώρες. Άρα, σε 1 ώρα γεμίζουν το:
1/x+1/y=1/6 (1)
2. Β και Γ μαζί: Γεμίζουν τη δεξαμενή σε 7 ώρες και 30 λεπτά. Τα 30 λεπτά είναι 1/2 της ώρας, άρα συνολικά 7,5 ώρες ή 15/2 ώρες.
Άρα σε1 ώρα γεμίζουν το:
1/y+1/z=1/15/2 =====> 1/y+1/z=2*1/15 =====> 1/y+1/z=2/15 (2)
3. Α και Γ μαζί: Γεμίζουν τη δεξαμενή σε 10 ώρες. Άρα, σε 1 ώρα γεμίζουν το:
1/x+1/z=1/10 (3)
α) Αν ανοιχτούν συγχρόνως οι τρεις βρύσες, σε πόσο χρόνο θα γεμίσουν τη δεξαμενή;:
Προσθέτουμε τις τρεις παραπάνω εξισώσεις κατά μέλη κι’ έχουμε:
(1/x+1/y)+(1/y+1/z)+(1/x+1/z)=1/6+2/15+1/10 =====> 2(1/x+1/y+1/z)=1/6+2/15+1/10
Βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο:
(Ε.Κ.Π. 6,15,10)= 2*3*5=30
2*(1/x+1/y+1/z)=5/30+4/30+3/30 === 2*(1/x+1/y+1/z)=12/30
Aπλοποιoύμε το κλάσμα 12/30 διαιρώντας με το 6, όπου προκύπτει:
2*(1/x+1/y+1/z)=12/30 === 2*(1/x+1/y+1/z)=12:6/30:6 =====> 2*(1/x+1/y+1/z)=2/5 (4)
Διαιρούμε με το 2/1 την (4) κι’ έχουμε:
2*(1/x+1/y+1/z)=2/5 === 2*(1/x+1/y+1/z)/2/1=2/5/2/1 === 2*(1/x+1/y+1/z)/2/1=2/5/2/1 === (2*1)*(1/x+1/y+1/z)/2=(2*1)/(5*2) ===
2*1*(1/x+1/y+1/z)/2=(2*1)/(5*2 === 2*(1/x+1/y+1/z)/2=2/10 === (1/x+1/y+1/z)=2/10 (5)
Διαιρούμε το κλάσμα του δευτέρου μέλος της εξίσωσης (5) με το 2 κι’ έχουμε:
(1/x+1/y+1/z)=2/10 === (1/x+1/y+1/z)=2:2/10:2 === (1/x+1/y+1/z)=1/5 (6)
Αυτό σημαίνει ότι και οι τρεις βρύσες μαζί σε 1 ώρα γεμίζουν το 1/5 της δεξαμενής.
Επομένως, και οι τρεις βρύσες μαζί θα γεμίσουν τη δεξαμενή σε 5 ώρες.
β) Σε πόσες ώρες κάθε βρύση γεμίζει μόνη της τη δεξαμενή;:
Γνωρίζουμε ότι και οι τρεις μαζί γεμίζουν 1/5 σε μία ώρα. Αφαιρώντας τον συνδυασμό των δύο κάθε φορά, βρίσκουμε την τρίτη:
1. Για τη βρύση Γ:
1/x+1/y+1/z=1/5 === 1/z=1/5-(1/x+1/y) === 1/z=1/5-1/6 === 1/z=(6-5)/30 === 1/z=1/30 (7)
Άρα, η βρύση Γ μόνη της γεμίζει τη δεξαμενή σε 30 ώρες.
2. Για τη βρύση Α:
1/x+1/y+1/z=1/5 === 1/x=1/5-(1/y+1/z ===1/x=1/5-2/15 === 1/x=(3-2)/15 === 1/x=1/15 (8)
Άρα, η βρύση Α μόνη της γεμίζει τη δεξαμενή σε 15 ώρες.
3. Για τη βρύση Β:
1/x+1/y+1/z=1/5 === 1/y=1/5-(1/x+1/z) === 1/y=1/5-1/10 === 1/y=(2-1)/10 === 1/y=1/10 (9)
Άρα, η βρύση Β μόνη της γεμίζει τη δεξαμενή σε 10 ώρες.
Σύνοψη Απαντήσεων:
α) Μαζί και οι τρεις βρύσες γεμίζουν τη δεξαμενή σε 5 ώρες.
β) Μόνη της η Α σε 15 ώρες, η Β σε 10 ώρες και η Γ σε 30 ώρες.