Γνωρίζουμε ότι η φανταστική μονάδα \(i\) ικανοποιεί τη σχέση:
\[ i^2=-1. \]
Αλλά ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του \(i\);
Η απάντηση έχει μια όμορφη γεωμετρική ερμηνεία στο μιγαδικό επίπεδο.
Ο αριθμός \(i\) έχει μέτρο \(1\) και ένα όρισμά του είναι \(90^\circ\), δηλαδή \(\pi/2\) ακτίνια.
Όταν υψώνουμε έναν μιγαδικό αριθμό στο τετράγωνο, διπλασιάζεται το όρισμά του και τετραγωνίζεται το μέτρο του.
Επομένως, οι δύο τετραγωνικές ρίζες του \(i\) έχουν μέτρο \(1\) και ορίσματα:
\[ 45^\circ \quad \text{και} \quad 225^\circ. \]
Η πρώτη αντιστοιχεί στον μιγαδικό αριθμό:
\[ \cos45^\circ+i\sin45^\circ =\frac{1+i}{\sqrt2}. \]
Η δεύτερη είναι ο αντίθετός του.
Άρα οι δύο λύσεις της εξίσωσης \(z^2=i\) είναι:
\[ \boxed{z=\pm\frac{1+i}{\sqrt2}} \]
Η κύρια τετραγωνική ρίζα είναι:
\[ \boxed{\sqrt{i}=\frac{1+i}{\sqrt2}} \]
Μια υπέροχη γεωμετρική ιδέα: Στο μιγαδικό επίπεδο, ο πολλαπλασιασμός δεν μεταβάλλει μόνο τα μέτρα των αριθμών. Συνδέεται και με τις περιστροφές!
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου