▪Τετραγωνίζεται ο κύκλος;

Του Δημήτρη Καστανιώτη

Το πρόβλημα

Να κατασκευαστεί τετράγωνο ίσου εμβαδού με ένα κύκλο χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη. 

Αυτό ήταν ένα από τα τρία γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητας , και ίσως το πρώτο που προσπάθησε να λύσει ο Aναξαγόρας. Αποδείχθηκε τελικά ότι είναι ένα άλυτο πρόβλημα όταν αποδείχθηκε από τον Lindemann το 1882 ότι το π είναι ένας αριθμός που δεν είναι ρίζα κανενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές (υπερβατικός) και επομένως δεν κατασκευάζεται. 

Προσπάθησε βέβαια και ο Αρχιμήδης να τετραγωνίσει τον κύκλο δίνοντας την ακόλουθη κατασκευή. 

Έστω P είναι το σημείο στη σπείρα όταν ολοκληρωθεί μια στροφή. Έστω ότι η εφαπτομένη στο P τέμνει την κάθετο στην OP στο Τ. 

Κατόπιν ο Αρχιμήδης αποδεικνύει στην Πρόταση 19 στις Σπείρες ότι OT είναι το μήκος της περιφέρειας του κύκλου με ακτίνα ΟP. 

O Αρχιμήδης όμως είχε αποδείξει ήδη στην πρώτη πρόταση της Μέτρησης του κύκλου ότι το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τρίγωνου που έχει τις δύο κάθετες πλευρές ίσες με την ακτίνα του κύκλου και την περιφέρεια του κύκλου αντίστοιχα. Έτσι εμβαδόν ενός κύκλου με ακτίνα ΟΡ είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου ΟPT. 

Γίνεται με το Sketchpad ;

Ας επιστρέψουμε τώρα στο πρόβλημα  και ας το αντιμετωπίσουμε με άλλα μέσα : ας υποθέσουμε ότι ένα κύκλος ακτίνας R κάνει μισή στροφή πάνω σε μια ευθεία. 

• Το μήκος του τόξου ΑΜ είναι ίσο με το τμήμα ΜΜ΄ δηλαδή π.R
• To M’ N είναι ίσο με R
• Στο ημικύκλιο με κέντρο το Κ και ακτίνα ΚΝ η γωνία ΜΔΝ είναι ορθή και επομένως ΔΜ΄² = ΜΜ΄. Μ΄Ν = π.R.R = π.R²
• Άρα το τετράγωνο με πλευρά την Δ Μ΄ είναι το ζητούμενο.