Νομίζω ναι. Από τις δυνάμεις του 10 με ακέραιο θετικό εκθέτη, όσες έχουν περιττό εκθέτη είναι ισότιμες 10 mod11 και όσες έχουν άρτιο εκθέτη είναι ισότιμες 1 mod11. Οι δυνάμεις του 5 με ακέραιο θετικό εκθέτη, είναι κατά σειρά ισότιμες 5,3,4,9,1,5,3,4,9,1,... mod11. Για να είναι επομένως το άθροισμα μιας δύναμης του 10 και μιας δύναμης του 5 διαιρετό με το 11, πρέπει ο εκθέτης μ του 10 να είναι περιττός (να έχουμε δηλαδή 10^μ = 10 mod11) και ταυτόχρονα ο εκθέτης ν του 5 να είναι πολλαπλάσιος του 5 (για να έχουμε 5^ν = 1 mod11). Στην προκείμενη περίπτωση, τόσο ο μ = [(5^10)^5]^10 είναι περιττός (αφού είναι δύναμη του 5), όσο και ο ν = [(10^5)^10]^5 είναι πολλαπλάσιος του 5 (αφού είναι δύναμη του 10). Επομένως ο 10^μ+5^ν διαιρείται με το 11.
Χριστός Ανέστη, Χρόνια πολλά και καλά σε όλους τους φίλους!
2 σχόλια:
Νομίζω ναι.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό τις δυνάμεις του 10 με ακέραιο θετικό εκθέτη, όσες έχουν περιττό εκθέτη είναι ισότιμες 10 mod11 και όσες έχουν άρτιο εκθέτη είναι ισότιμες 1 mod11.
Οι δυνάμεις του 5 με ακέραιο θετικό εκθέτη, είναι κατά σειρά ισότιμες 5,3,4,9,1,5,3,4,9,1,... mod11.
Για να είναι επομένως το άθροισμα μιας δύναμης του 10 και μιας δύναμης του 5 διαιρετό με το 11, πρέπει ο εκθέτης μ του 10 να είναι περιττός (να έχουμε δηλαδή 10^μ = 10 mod11) και ταυτόχρονα ο εκθέτης ν του 5 να είναι πολλαπλάσιος του 5 (για να έχουμε 5^ν = 1 mod11).
Στην προκείμενη περίπτωση, τόσο
ο μ = [(5^10)^5]^10 είναι περιττός (αφού είναι δύναμη του 5), όσο και
ο ν = [(10^5)^10]^5 είναι πολλαπλάσιος του 5 (αφού είναι δύναμη του 10).
Επομένως ο 10^μ+5^ν διαιρείται με το 11.
Χριστός Ανέστη, Χρόνια πολλά και καλά σε όλους τους φίλους!
Πιο σωστά νομίζω:
Διαγραφήμ = 5^(10^(5^10))
ν = 10^(5^(10^5))
Κατά τα λοιπά, δεν αλλάζει κάτι.