Τετραγωνισμός του κύκλου

Τετραγωνισμός κύκλου λέγεται η κατασκευή, με κανόνα και διαβήτη, ενός τετραγώνου ισοδύναμου με το δοσμένο κύκλο. 

Έστω $R$ η ακτίνα ενός κύκλου και $Ε$ το εμβαδόν του. 

Επειδή $Ε = \dfrac{1}{2} L \cdot R$, όπου $L$ το μήκος του κύκλου, προκύπτει ότι ο κύκλος είναι ισοδύναμος με τρίγωνο, που έχει βάση $L$ και ύψος $R$. 

Κάθε τρίγωνο όμως είναι ισοδύναμο με τετράγωνο. 

Επομένως ο τετραγωνισμός του κύκλου ανάγεται στην κατασκευή του $L$, αφού το $R$ είναι ένα δοσμένο τμήμα. 

Επειδή όμως $L=2πR$ η κατασκευή του ανάγεται στην κατασκευή τμήματος μήκους $π$ (αφού για $R = \dfrac{1}{2}$ είναι $L = π$). Για να είναι η κατασκευή αυτή δυνατή, όπως έχει αποδειχθεί, θα έπρεπε ο $π$ να είναι ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές, δηλαδή αλγεβρικός αριθμός, βαθμού $2ν$, όπου $ν$ φυσικός. 

Όμως, ο Γερμανός Μαθηματικός Lindemann, το $1882$, απέδειξε ότι ο $π$ δεν είναι αλγεβρικός αριθμός αλλά υπερβατικός και επομένως δεν κατασκευάζεται γεωμετρικά. 

Αποδείχθηκε έτσι το αδύνατο της γεωμετρικής λύσης του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου.