▪ Διανυσματικός χώρος

Έστω ότι με $Κ$ συμβολίζουμε ένα οποιοδήποτε σώμα, όταν με την έννοια «σώμα» αναφερόμαστε σε ένα σύνολο, όπως για παράδειγμα το $\Re$ των πραγματικών αριθμών, το $C$ των μιγαδικών αριθμών, το $Q$  των ρητών αριθμών, κ.ο.κ.

Ορισμός

Ένα σύνολο $V$ ονομάζεται διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα $Κ$ ή $Κ$-χώρος αν 

I. To $V$ είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση, δηλαδή αν $u,v∈V$, τότε $u+v∈V$

II. Ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα για τη πράξη της πρόσθεσης, δηλ. $u+v=v+u$ για όλα τα $u,v∈V$. 

III. Ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα για τη πράξη της πρόσθεσης, δηλ. $u+(v+w)=(u+v)+w$ για όλα τα $u, v, w ∈ V$.

IV. Υπάρχει το ουδέτερο στοιχείο για τη πράξη της πρόσθεσης, δηλ. $∃ 0∈V$ τέτοιο ώστε $u+0=0+u=u$ για όλα τα $u∈V$. 

V. Για κάθε $u∈V$, υπάρχει στοιχείο $(-u)∈V$, τέτοιο ώστε $u+(-u)=(-u)+u=0$. 

VI. Για κάθε $α∈Κ, u∈V$ ορίζεται ένα στοιχείο $α⋅u∈V$, το οποίο ονομάζεται βαθμωτό πολλαπλάσιο του $u$ επί το $α$, και ισχύουν οι κάτωθι ιδιότητες:

(α) $α⋅(u+v)=α⋅u+α⋅v$ για όλα τα $α∈Κ, u,v∈V$

(β) $(α+β)⋅v=α⋅v+β⋅v$ για όλα τα $α, β∈Κ, v∈V$

(γ) $α⋅(β⋅v)=(αβ)⋅v$ για όλα τα $α, β∈Κ, v∈V$

(δ) $1⋅v=v$ για όλα τα $v∈V$

Τα στοιχεία του συνόλου $V$ λέγονται διανύσματα, ενώ εκείνα του $Κ$ συντελεστές.