▪ Μέτρα θέσης: Διάμεσος

Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν $9$ μαθητές, για να λύσουν ένα πρόβλημα είναι: 

$3, 5, 5, 36, 6, 7, 4, 7, 8$ 

με μέση τιμή $(\bar{x}=9)$. Παρατηρούμε όμως ότι οι οκτώ από τις εννέα παρατηρήσεις είναι μικρότερες του $9$ και μία (ακραία τιμή), η οποία επηρεάζει και τη μέση τιμή είναι, αρκετά μεγαλύτερη του $9$. Αυτό σημαίνει ότι η μέση τιμή δεν ενδείκνυται ως μέτρο θέσης (“κέντρο”) των παρατηρήσεων αυτών. Αντίθετα, ένα άλλο μέτρο θέσης που δεν επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις είναι η διάμεσος (median), η οποία ορίζεται ως εξής:

Διάμεσος $(δ)$ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, όταν το ν είναι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το ν είναι άρτιος αριθμός.

Για παράδειγμα, για να βρούμε τη διάμεσο των δεδομένων:

α) $3, 4, 0, 6, 5, 8, 1, 1, 6, 1, 2, 8, 9$ 

β) $3, 4, 0, 6, 5, 8, 1, 1, 6, 1, 2, 8, 9, 9$ 

εργαζόμαστε ως εξής:

α) Έχουμε $ν = 13$ παρατηρήσεις, οι οποίες σε αύξουσα σειρά είναι:

$0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 8, 8, 9$.

Άρα, η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση (έβδομη στη σειρά), $δ = 4$.

β) Έχουμε $ν = 14$ παρατηρήσεις οι οποίες σε αύξουσα σειρά είναι:

$0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 8, 8, 9, 9$.

Άρα, η διάμεσος είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων (της έβδομης και όγδοης στη σειρά), δηλαδή

$δ=\frac{4+5}{2}=4,5$.

Παρατηρούμε ότι, η διάμεσος είναι η τιμή που χωρίζει ένα σύνολο παρατηρήσεων σε δύο ίσα μέρη όταν οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθούν με σειρά τάξης μεγέθους. Ακριβέστερα, η διάμεσος είναι η τιμή για την οποία το πολύ $50%$ των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ $50% $ των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από την τιμή αυτήν.
Διάμεσος σε Ομαδοποιημένα Δεδομένα
Θεωρούμε τα δεδομένα του ύψους των μαθητών στον πίνακα 9 και το αντίστοιχο ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων με την πολυγωνική γραμμή, σχήμα 13. Η διάμεσος, όπως ορίστηκε, αντιστοιχεί στην τιμή $x = δ$ της μεταβλητής $Χ$ (στον οριζόντιο άξονα), έτσι ώστε το $50%$ των παρατηρήσεων να είναι μικρότερες ή ίσες του $δ$. Δηλαδή, η διάμεσος θα έχει αθροιστική σχετική συχνότητα $F_i = 50%$. Εφόσον στον κάθετο άξονα έχουμε τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες, από το σημείο $Α$ ($50%$ των παρατηρήσεων) φέρουμε την $AB\parallel{Ox}$  και στη συνέχεια τη $ΒΓ\perp{Ox}$. Τότε, στο σημείο Γ αντιστοιχεί η διάμεσος $δ$ των παρατηρήσεων. Δηλαδή, $δ ≈ 173$.