Η ιδέα της αρχής στην Ελληνική φιλοσοφική σκέψη
Η γένεση της αξιωματικής μεθόδου στα μαθηματικά είναι φαινόμενο όχι μόνο μαθηματικού χαρακτήρα. Μαθηματικές γνώσεις είχαν πολλοί λαοί και μεγάλοι πολιτισμοί. Όμως μόνο στην αρχαία Ελλάδα γεννήθηκε η ιδέα να κατασκευαστεί η Γεωμετρία ξεκινώντας από ένα πεπερασμένο αριθμό αρχικών προτάσεων.
Η ιδέα της ενιαίας αρχής του κόσμου εντοπίζεται ήδη στα φιλοσοφικά σχήματα των Ιώνων φιλοσόφων, με τα οποία επιχειρούσαν να ερμηνεύσουν τον κόσμο. Ο Εμπεδοκλής ανέ-πτυξε τη θεωρία των στοιχείων, από την αλληλεπίδραση των οποίων γεννιέται ο κόσμος. Οι αρχαίοι ατομιστές επεχείρησαν επίσης να ερμηνεύσουν τον κόσμο ξεκινώντας από κάποιες ελάχιστες αδιαίρετες οντότητες. Έτσι η τάση να εξηγηθεί ο κόσμος ξεκινώντας από ένα πεπερασμένο αριθμό αρχικών στοιχείων με κάποιους ορθολογικούς κανόνες δέσποζε στην πνευματική ατμόσφαιρα της αρχαίας Ελλάδας.
Στους κύκλους των φιλοσόφων της Πλατωνικής Ακαδημίας και των Περιπατητικών συζητείται το θέμα των αρχών πάνω στις οποίες πρέπει να κατασκευάζεται μια αποδεικτική επιστήμη. Σύμφωνα με τη θεωρία της επιστήμης του Πλάτωνα, η επιστήμη
1. είναι ένα σύνολο απόλυτων αληθειών,
2. ξεκινά από κάποιες αρχές, από τις οποίες συνάγονται οι αλήθειες της επιστήμης,
3. μελετά ιδεατά αντικείμενα που είναι σταθερά και αμετάβλητα στην πορεία του χρόνου. Απόλυτες αλήθειες μπορούν να διατυπωθούν μόνο για αντικείμενα αυτού του τύπου.
Τα μαθηματικά, κατά τον Πλάτωνα, επιτυγχάνουν την τελειότητα στο βαθμό που οι αρχές τους προκύπτουν από τη λεγόμενη Ιδέα του Αγαθού, που στο φιλοσοφικό σύστημα του Πλάτωνα παίζει ρόλο καθαρού Απολύτου.
Ο Αριστοτέλης, από την άλλη μας άφησε στα «Αναλυτικά Ύστερα» μια αρκετά επεξεργασμένη θεωρία αποδεικτικής επιστήμης. Η γενική λογική δομή μιας αποδεικτικής επιστήμης αποτελείται από όρους και προτάσεις που έχουν τα εξής χαρακτηριστικά:
Η αποδεικτική επιστήμη είναι μια ακολουθία προτάσεων για τα στοιχεία ενός πεδίου αντικειμένων, του γ έ ν ο υ ς (αρχή της ο μ ο γ έ ν ε ι α ς) .
Οι προτάσεις αυτές διαιρούνται σε α ν α π ό δ ε ι κ τ ε ς ή α ρ χ ι κ έ ς (αξιώματα, αιτήματα, αρχές, τα πρώτα), και α π ο δ ε ί ξ ι μ ε ς ή π α ρ ά γ ω γ ε ς (θεωρήματα).
Οι όροι της πρότασης διαιρούνται σε μ η ο ρ ι ζ ό μ ε ν ο υ ς ή α ρ χ ι κ ο ύ ς όρους (αρχές, τα πρώτα), και ο ρ ί σ ι μ ο υ ς ή π α ρ ά γ ω γ ο υ ς όρους (τα εκ τούτων).
Ωστόσο, ο Αριστοτέλης δεν απαιτεί τη ρητή απαρίθμηση όλων των αρχικών προτάσεων και όρων.(II)
Από τις αρχικές προτάσεις, τα α ξ ι ώ μ α τ α είναι προ- φανή και α ν α π ό δ ε ι κ τ α , ενώ τα α ι τ ή μ α τ α είναι υποθέσεις που λαμβάνονται χωρίς απόδειξη, αν και δεν είναι πάντοτε προφανείς.(ΙII)
Οι αρχικοί ό ρ ο ι είναι άμεσα ν ο η τ ο ί και δεν ορίζονται.(IV)
Από τις αρχικές προτάσεις, τα αξιώματα είναι α λ η θ ε ί ς και α ν α γ κ α ί ε ς προτάσεις. Η αλήθεια των αιτημάτων όμως δεν είναι λογικά αναγκαία, αλλά γίνεται δεκτή χωρίς απόδειξη.
Οι αναζητήσεις πάνω στις αρχές της αποδεικτικής επιστήμης στην Ακαδημία του Πλάτωνα και το Λύκειο, συνέτειναν πιθανότατα στη δημιουργία ενός ενιαίου συστήματος αρχών, που αποτέλεσε τη βάση των «Στοιχείων» του Ευκλείδη.
Το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη
Η πρωταρχική ανάπτυξη της αξιωματικής μεθόδου έχει αφετηρία στα έργα των αρχαίων Ελλήνων γεωμετρών. Η πρώτη προσπάθεια να γραφούν «Στοιχεία» της Γεωμετρίας ανήκει στον Ιπποκράτη το Χίο. Σύμφωνα με μαρτυρία του Πρόκλου, διάφοροι γεωμέτρες επιχείρησαν να γράψουν «Στοιχεία». Στην πορεία της κατασκευής των «Στοιχείων» της Γεωμετρίας τέθηκε πιθανότατα το θέμα να διευκρινιστεί ποιες είναι οι προτάσεις εκείνες από τις οποίες όλες οι άλλες προτάσεις προκύπτουν ως συμπέρασμα. Αν και τα «Στοιχεία» των γεωμετρών αυτών δε διασώθηκαν, είναι ωστόσο λογικό να υποθέσουμε ότι η έκθεση της Γεωμετρίας διέφερε από έργο σε έργο κι ότι οι αρχικές προτάσεις σ' αυτά δεν ήταν οι ίδιες.
Το Βιβλίο I των «Στοιχείων» αρχίζει με 23 Ορισμούς οι οποίοι εισάγουν τις βασικές γεωμετρικές έννοιες (σημείο, γραμμή, επιφάνεια, ευθεία, επίπεδο, γωνία, σύνορο, σχήμα) και παράγωγες έννοιες με τη βοήθεια των οποίων ορίζονται τα βασικά γεωμετρικά σχήματα (ορθή, οξεία και αμβλεία γωνία, κύκλος, τρίγωνα, τετράπλευρα, παράλληλες ευθείες). Ωστόσο, ο ορισμός της έννοιας π.χ. του σημείου ή της ευθείας που δίνει ο Ευκλείδης δε χρησιμοποιείται πουθενά στη συνέχεια στις αποδείξεις των «Στοιχείων».
Tα τρία πρώτα Αιτήματα διασφαλίζουν την εκτέλεση γεωμετρικών κατασκευών με κανόνα και διαβήτη. Το τέταρτο αίτημα εξασφαλίζει ότι μια ευθεία μπορεί να προεκταθεί κατά μονοσήμαντο τρόπο, και το πέμπτο αίτημα εξασφαλίζει την ύπαρξη σημείου τομής δύο ευθειών υπό τις συνθήκες του αιτήματος.
Οι Κοινές Έννοιες είναι προτάσεις που περιγράφουν γενικές ιδιότητες της ισότητας ή ανισότητας μεγεθών. Όλες οι Κοινές Έννοιες εκτός της τέταρτης αφορούν όχι μόνο γεωμετρικά μεγέθη, αλλά και αριθμούς. Μόνον η τέταρτη έχει κατ' εξοχήν γεωμετρικό χαρακτήρα. Γι' αυτό θεωρείται από ορισμένους ιστορικούς των μαθηματικών ότι πιθανόν είναι μεταγενέστερη παρεμβολή.
Η επιλογή των αιτημάτων και των Κοινών Εννοιών είναι εν γένει εύστοχη. Όλες σχεδόν οι προτάσεις αυτές διατηρήθηκαν στο σύγχρονο αξιωματικό σύστημα της Γεωμετρίας. Ωστόσο, δεν είναι επαρκή, από σύγχρονη άποψη, για να θεμελιώσουν τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη. Απουσιάζουν εντελώς έννοιες όπως του «μεταξύ», «από το ίδιο μέρος», «εντός (εκτός) ενός γεωμετρικού σχήματος», και πολλές άλλες που ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί στη συνέχεια κατά τη διαδικασία των αποδείξεων. Όμως αυτό δεν αποτελεί μειονέκτημα από την Αριστοτέλεια άποψη της αποδεικτικής επιστήμης, αφού δεν επιβάλλεται η πλήρης απαρίθμηση όλων των αρχικών προτάσεων, κι επομένως επιτρέπεται η χρήση «προφανών», μη ρητά διατυπωμένων υποθέσεων στην πορεία της απόδειξης.
Η εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου έδωσε τη δυνατότητα της συστηματοποίησης του σώματος των γεωμετρικών προτάσεων κατά την αρχαιότητα και την αποφυγή λογικών λαθών όπως π.χ. οι φαύλοι κύκλοι. Επίσης συνέβαλε στην αποσαφήνιση της λογικής αλληλουχίας των εννοιών, πράγμα που προσέδωσε στη Γεωμετρία ανυπέρβλητη για την εποχή λογική αυστηρότητα.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου