▪ Ν-οστός όρος αριθμητικής προόδου

-Στην ακολουθία $1, 3, 5, 7,...$ των περιττών αριθμών, κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του αριθμού 2. Δηλαδή για την ακολουθία αυτή ισχύει:

$α_{ν+1} = α_ν + 2$     ή    $α_{ν+1} - α_ν = 2$

Η ακολουθία $(α_ν)$ λέγεται αριθμητική πρόοδος με διαφορά $2$.

-Στην ακολουθία $15, 10, 5, 0, -5, -10,...$ κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του αριθμού $-5$. Δηλαδή για την ακολουθία αυτή ισχύει:

$α_{ν+1}=α_ν-5$   ή   $α_{ν+1}-α_ν=-5$

Όπως και προηγουμένως, η ακολουθία $(α_ν)$ λέγεται αριθμητική πρόοδος με διαφορά $-5$.

Γενικότερα ορίζουμε ότι:

Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού.

Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με $ω$ και τον λέμε διαφορά της προόδου.

Επομένως, η ακολουθία $(α_ν)$ είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά $ω$, αν και μόνο αν ισχύει:

ή

Αν σε μια αριθμητική πρόοδο γνωρίζουμε τον πρώτο όρο της $α_1$ και τη διαφορά της $ω$ τότε ο αναδρομικός της τύπος 

$α_{ν+1} = α_ν+ω$ 

μας επιτρέπει να βρούμε με διαδοχικά βήματα τον οποιονδήποτε όρο της.

Μπορούμε όμως να υπολογίσουμε κατευθείαν το $ν_{ος}$ όρο αν μιας αριθμητικής προόδου ως συνάρτηση των $α_1 , ω$ και $ν$ ως εξής:
Από τον ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε:

Προσθέτοντας κατά μέλη της $ν$ αυτές ισότητες και εφαρμόζοντας την ιδιότητα της διαγραφής βρίσκουμε 

$α_ν = α_1 + (ν-1)ω$

Επομένως

O $ν_{ος}$ όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο $α_1$ και διαφορά $ω$ είναι

$α_ν=α_1+(ν-1)ω$

Έτσι π.χ. στην αριθμητική πρόοδο $3, 5, 7, 9 .............$ η οποία έχει $α_1 = 3$ και $ω=5-3=2$, ο $ν_{ος}$ όρος της είναι 

$α_ν= 3+(ν-1) 2$. 

Επομένως ο $20$ος όρος της είναι 

$α_{20} = 3+19 · 2 = 41$, 

ο $100$ος όρος της είναι 

$α_{100} = 3+99·2 = 201$ κτλ.

Από το σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου.