▪Κατασκευάσιμα πολύγωνα

O Karl Friedrich Gauss (1777-1855) ανακάλυψε, μελετώντας την κυκλοτομική εξίσωση $z^n = 1$, ότι οι ρίζες χωρίζουν τον κύκλο σε τόξα ίσου μέτρου και με αυτό τον τρόπο προσδιορίζουν τις κορυφές ενός κανονικού πολύγωνου. Ο τύπος που δίνει τον αριθμό n των πλευρών που πρέπει να έχει ένα κανονικό πολύγωνο για να είναι κατασκευάσιμο με κανόνα και διαβήτη είναι ο εξής:

$n = 2^kp_0p_1 · · · p_r$

όπου οι $p_i$ με $0 ≤ i ≤ r$ είναι πρώτοι, διακεκριμένοι και της μορφής:

$p_i = 2^{2^{m_i}} + 1$,   $m_i ∈ N$.

Οι αριθμοί αυτοί ονομάστηκαν «πρώτοι αριθμοί του Fermat» από το όνομα του διάσημου Γάλλου Μαθηματικού Pière Fermat (1601-1665). Οι πέντε πρώτοι τέτοιοι αριθμοί είναι:

$m = 0$,   $2^{2^{0}} + 1 = 3$

$m = 1$,   $2^{2^{1}} + 1 = 5$

$m = 2$,   $2^{2^{2}} + 1 = 17$

$m = 3$,   $2^{2^{3}} + 1 = 257$

$m = 4$,   $2^{2^{4}} + 1 = 65 537$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com