Στις πλευρές ενός τριγώνου $ABC$, κατασκευάζουμε τα τετράγωνα $ABDE, BCFG$ και $ACHK$.
α) Να αποδειχτεί (BDG) = (ABC).
β) Κατασκευάζουμε το τετράγωνο $DGMN$, να αποδειχθεί ότι όλα μπλε τρίγωνα έχουν το ίδιο εμβαδόν με το $ABC$.
γ) $a^² + c^² = \frac{b^² + d^²}{2}$
γ) $a^² + c^² = \frac{b^² + d^²}{2}$
1 σχόλιο:
α) Έστω Α' η προβολή του Α στην BC και D' η προβολή του D στην BG. Τα ορθογώνια τρίγωνα AA'B και DD'B είναι ίσα, ίσες υποτείνουσες (πλευρές τετραγώνου c) και ίσες γωνίες (πλευρές ανά δύο κάθετες μεταξύ τους, άρα ΑΑ'=DD'.
ΑπάντησηΔιαγραφήΆρα Ε(BDG)=(1/2)*a*DD'=(1/2)*a*AA'=E(ABC)
β) αντίστοιχα με το παραπάνω Ε(EDN)=E(BDG)=E(ABC)
Tα άλλα τρία τρίγωνα EAK, HCF και FGM είναι ίδιας λογικής, αρκεί να δείξουμε ότι ενα από αυτά έχει ίδιο εμβαδόν με το μπλε τρίγωνο (ABC), έστω το HCF.
Έστω F' η προβολή του F στην HC και Β' η προβολή του Β στην AC. Τα ορθογώνια τρίγωνα BB'C και CFF' είναι ίσα καθώς έχουν ίσες υποτείνουσες (πλευρές τετραγώνου a) και ίσες γωνίες (πλευρές ανά δύο κάθετες μεταξύ τους), άρα BB'=FF'.
Άρα Ε(HCF)=(1/2)*a*FF'=(1/2)*a*BB'=E(ABC)
γ) b^2=a^2+c^2-2ac*cos(ABC)
d^2=a^2+c^2-2ac*cos(DBG) =>
b^2+d^2=2( a^2+c^2)-4ac*(cos(ABC)+cos(DBG))
ισχύει cos(ABC)+cos(DBG)=0, άρα
b^2+d^2=2( a^2+c^2) => a^2+c^2 =(b^2+d^2)/2