Λάθη και παρανοήσεις στα Μαθηματικά του Λυκείου

 Του Αλέξανδρου Γ. Συγκελάκη 

Ερώτηση:

Ποια η ομοιότητα στη διαδικασία επίλυσης των παρακάτω ασκήσεων;

Άσκηση: 

Να βρείτε τις τιμές του $x$ για τις οποίες 

$\sqrt{x}=x-2$. 

Άσκηση: 

Να βρείτε την τιμή του $α$ ώστε να ισχύει 

$a^x\geq {x+1}$

για κάθε $x\in{R}$. 

Απάντηση: 

Στη μεν πρώτη, αν η πρώτη σχέση που γράψουμε (χωρίς τους αναγκαίους περιορισμούς) είναι

$(\sqrt{x})^2=(x-2)^2$

τότε αυτή είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη και όμοια στη δεύτερη, αν ορίσουμε 

$f(x) =a^x - x-1$

και εκμεταλλευτούμε ότι $f'(0) =0$, τότε και πάλι η τελευταία είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη. 

Άρα και στις δύο ασκήσεις είναι απαραίτητη η επαλήθευση.