Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα 2015 - Μικρή Λίστα (Θεωρία Αριθμών)

$Ν_1$. Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακεραίους για τους οποίους η ακολουθία που ορίζεται ως

  και  

περιέχει έναν τουλάχιστον όρο που είναι ακέραιος. 

$Ν_2$. Οι θετικοί ακέραιοι είναι τέτοιοι ώστε ο είναι πολλαπλάσιο του .

Να αποδείξετε ότι 

.

$N_3$. Θεωρούμε τους θετικούς ακεραίους και με . Ορίζουμε 

 

για . 

Να αποδείξετε ότι αν όλοι οι αριθμοί είναι ακέραιοι, τότε ο έχει έναν τουλάχιστον περιττό πρώτο διαιρέτη.

$Ν_4$. Οι ακολουθίες θετικών ακεραίων και ορίζονται ως εξής: 

και και .

Nα αποδείξετε ότι η ακολουθία είναι τελικά περιοδική.
Πηγή