Διαιρετός ναι ή όχι ?

Ο αριθμός

διαιρείται με το $2019$?

Λύση

H λύση που μου έστειλε ο αγαπητός φίλος papadim:

Θέτουμε $ν=2019^{2020}$, οπότε:

$1+2^ν+3^ν+..+2018^ν =$ 

$=(1^ν+2018^ν)+(2^ν+2017^ν)+...+(1009^ν+1010^ν)$

Ο $ν$ είναι περιττός, ως θετική ακέραια δύναμη περιττού, οπότε ο $α^ν+β^ν$ διαιρείται από τον $α+β$.

Αλλά $α+β=2019$ σε όλες τις πιο πάνω παρενθέσεις. 

Άρα ο $2019$ διαιρεί όλες τις παρενθέσεις, άρα και το άθροισμά τους.