Δύο ολοκληρώματα από την Μαθηματική Ολυμπιάδα Βραζιλίας 2019

i) $\displaystyle\int_1^2\dfrac{e^x(x-1)}{x(x+e^x)}\,dx=\ln\left(\dfrac{2+e^2}{ 2+ 2e}\right)$ 

ii) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{x\sin(2x)}{1+\cos(2x)^2}\,dx=\frac{\pi^2}{16} $

Λύση

i) Έχουμε 

$\int_1^2\dfrac{e^x(x-1)}{x(x+e^x)}dx=\int_1^2 \dfrac{ e^x\left(\dfrac{1} {x} -\dfrac{1}{x^2}\right)}{1+\dfrac{e^x}{x}}dx=$

$=\ln\left( 1+\dfrac{e^x}{x}\right)\bigg|_1^2 =\ln\left(\dfrac{1+\frac{e^2}{2}} {1+e}\right )$ 

ii) Θέτουμε $\dfrac{\pi}{2}-x=t$ οπότε:

$\mathcal J=\int_0^{\pi/2}\dfrac{x\ sin(2x)}{1+\cos^2(2x)}dx=$

$=\int_ {\pi/2}^0 \dfrac {\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\sin(2t)}{1+\cos^2(2t)}(-dt)\overset{t=x}=\int_0^ \dfrac{\pi}{2}\dfrac{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\sin(2x)}{1+\cos ^2(2x)}dx$

Στη συνέχεια προσθέτουμε 

$$2\mathcal J=\frac{\pi}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin(2x)}{1+\cos^2(2x)}dx$$

$$\Rightarrow \mathcal J=-\frac{\pi}{8}\arctan(\cos(2x))\bigg|_0^\frac{\pi}{2}=\frac{\pi^2}{16}$$